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Calcolo combinatorio

Matematica

di Nicola Fusco

Per affrontare gli argomenti del calcolo combinatorio non sono necessari particolari prerequisiti, è infatti sufficiente conoscere i caratteri base della teoria degli insiemi. Per insieme intendiamo un concetto primitivo, in quanto non esiste una vera e propria definizione. Per cui un insieme non è definibile, ma individuabile, trovando cosi dei sinonimi per esso: una famiglia, un gruppo o una classe.
Lo scopo del calcolo combinatorio è quello di costruire vari tipi di raggruppamenti che si possono formare con n elementi e stabilirne il numero totale.
All’interno del calcolo combinatorio si possono effettuare tre operazioni:
Disposizione: semplice o con ripetizione;
Permutazione: semplice o con ripetizione;
Combinazione: semplice o con ripetizione.

DISPOSIZIONE SEMPLICE DI N OGGETTI
Si definisce disposizione semplice di n elementi distinti,di classe k, tutti i possibili raggruppamenti di n oggetti tale che ogni raggruppamento differisca all’altro per almeno un elemento oppure per l’ordine con cui gli elementi si ripetono.
Dn,k= n (n-1) (n-2)….(n-k+1) k<=n
Il numero delle disposizioni di n elementi distinti, della classe k è uguale al prodotto di k numeri interi, consecutivi, decrescenti dei quali il primo è n.
n = l’ordine di tutto l’insieme; k = la classe dei raggruppamenti

DISPOSIZIONE CON RIPETIZIONE
Si definisce disposizione con ripetizione un raggruppamento nel quale un elemento può comparire fino a k volte.
D*n,k= n^k
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi distinti, della classe k,è uguale alla potenza di base n ed esponente k.
n = l’ordine di tutto l’insieme; k = la classe dei raggruppamenti


PERMUTAZIONE SEMPLICI
Si definiscono permutazione semplice di n elementi, di classe k, tutti i possibili raggruppamenti di n oggetti tale che ogni raggruppamento differisca all’altro per l’ordine con cui gli elementi si ripetono.
Pn= n ! = n (n-1) (n-2)…..3•2•1 n=k
n ! = “n fattoriale” è il prodotto decrescente dei primi n numeri.

PERMUTAZIONE CON RIPETIZIONE

r,s,t
P*n= n ! / r ! s ! t !

r,s,t indicano il numero di volte che il singolo elemento si ripete.

COMBINAZIONE SEMPLICE
Si definisce combinazione di n oggetti distinti, di classe k, tutti i possibili raggruppamenti di n oggetti tale che ogni raggruppamento differisca all’altro per almeno un elemento.
Cn,k= Dn,k / k ! = n (n-1) (n-2)….(n-k+1) / k ( k-1) ( k-2)………3•2•1 n>k

COMBINAZIONE CON RIPETIZIONE
Si definisce combinazione di n oggetti distinti, di classe k, tutti i possibili raggruppamenti di n oggetti tale che ogni raggruppamento differisca all’altro per almeno un elemento oppure per il numero di volte con cui uno stesso oggetto può essere ripetuto.
C*n,k= n (n+1) (n+2)…….(n+k-1) / k !

di Nicola Fusco

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