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Gli asintoti tangenti alla curva all'infinito

dalla Tesina "Realtà e apparenza" per liceo linguistico

di Nicola Diomaiuto

Matematica

In matematica troviamo alcune funzioni ( ad esempio la parabola, le funzioni esponenziali e logaritmiche,...) i cui grafici si estendono all' infinito. Per questi grafici possono esistere rette, chiamate asintoti, che godono della proprietà di essere " tangenti alla curva all'infinito". Il termine asintoto deriva dal vocabolo greco " asymptotos" , il cui significato è "che non incontra". L'aggettivo asintotico significa dunque: " ciò che tende ad avvicinarsi sempre più a qualcosa senza mai raggiungerlo o coincidere con esso". Ai nostri occhi quindi un asintoto è una retta che apparentemente sembrerà toccare il grafico di una funzione, ma in realtà e non lo toccherà mai. Si dice che una retta r è un asintoto per il grafico di una funzione che si estende all'infinito quando, detto P un punto del grafico e H la sua proiezione ortogonale sulla retta, la distanza PH tende a zero al tendere del punto P all'infinito, cioè al tendere all'infinito di almeno una delle coordinate di P. Rispetto ad un sistema cartesiano ortogonale Oxy, un asintoto può essere:

  • - parallelo all'asse delle y ( o "verticale") ;

  • - parallelo all'asse delle x ( o "orizzontale") ;

Si dice che una retta x = c è un asintoto verticale per il grafico della funzione f (x) se, per x-> c, almeno uno dei limiti destro o sinistro di f (x) esiste ed è infinito.

Da quanto detto, segue che gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti in cui la funzione tende all'infinito, cioè nei punti di discontinuità di seconda specie della funzione.

Si dice che una retta y = a è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione f (x) se ... (completa)

 

Da quanto detto segue che gli asintoti orizzontali si trovano calcolando i limiti della funzione per x tendente a più e a meno infinito e, quando uno di questi limiti è un numero a, allora la retta y = a è un asintoto per il grafico della funzione.

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