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Ricerca operativa

appunti scolastici di matematica di Elena

La ricerca operativa (R.O.) è sorta agli inizi della seconda guerra mondiale, dapprima si sviluppò in Inghilterra per lo studio di problemi di difesa antiaerea mediante l’uso del radar; successivamente, negli Stati Uniti, fu impiegata per lo studio di problemi di strategia militare. Una volta terminato il conflitto poi, fu utilizzata per problemi organizzativi nei piu’ svariati settori.

 

La ricerca operativa può essere considerata l’applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a problemi che applicano il controllo di sistemi organizzativi al fine i fornire soluzioni che meglio servono gli scopi dell’organizzazione nel suo insieme.

Si divide in 5 fasi:

  • Raccolta delle informazioni;

  • Formulazione del problema;

  • Costruzione Modello matematico

  • Ricerca Soluzione de modello matematico

  • Verifica e controllo

 

Dal punto di vista matematico, è fondamentale la fase della costruzione del modello matematico.

I modelli altro non sono che rappresentazioni della realtà in forma semplificata e si dividono in:

  • Modelli iconici: sono descrittivi della realtà come i mappamondi, i modellini d’automobili...

  • Modelli analogici: utilizzano le proprietà di un insieme per rappresentare le proprietà di un altro insieme, come un impianto idraulico per rappresentare impianti elettrici…

  • Modelli matematici: sono i più astratti e si esprimono con relazioni matematiche tra le variabili e la grandezza da ottimizzare.

 

Il Modello matematico è infatti una rappresentazione della realtà in forma semplificata. E’ l’insieme di relazioni matematiche necessarie a descrivere un certo fenomeno. Si esprime attraverso la funzione obiettivo e i relativi vincoli (tecnici o di segno).

 

PROBLEMI DI DECISIONE

I problemi di decisione si possono classificare in base alle varie caratteristiche.

Possiamo avere problemi:

·      problemi di scelta in condizioni di certezza, se i dati e le conseguenze sono determinabili a priori;

·      problemi di scelta in condizioni di incertezza, quando alcune variabili sono aleatorie la cui distribuzione di probabilità è casuale;

·      problemi di scelta con effetti immediati, se tra il momento della decisione e il momento della realizzazione decorre un tempo breve che non influisce sulle grandezze economiche;

·      problemi di scelta con effetti differiti, se occorre tener conto dell’intervallo di tempo che decorre tra momento di decisione e di realizzazione.

 

Esempio Modello matematico

Per la produzione di un bene un’impresa sostiene una spesa fissa di € 20.000, un costo di 8€ per ogni unità prodotta e una spesa stimata pari allo 0,5% del quadrato della quantità prodotta per la manutenzione degli impianti.

La capacità produttiva massima mensile è di 10.000 unità

Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo.

 

1.      CERTEZZA IMMEDIATI

Nei casi di certezza immediati bisogna determinare i MASSIMI e i MINIMI di una funzione economica o scegliere il procedimento piu’ conveniente.

 

·      NEL CASO CONTINUO: la funzione economica è una funzione reale che puo’ assumere tutti i valori reali in un intervallo a, b.

 

Esempio

Una ditta ha una capacità produttiva massima mensile di 1.500 Kg di merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di 5.000 € ed un costo di 10 € per ogni Kg prodotto. La domanda della merce richiesta dai consumatori  espressa in funzione del prezzo della relazione:

x = 2.400 – 40 p .

Calcolare la quantità di merce che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

 

·      NEL CASO DISCRETO: le variabili assumono solo valori interi.

Se i valori sono finiti si costruisce una tabella secondo il criterio MARGINALISTICO e si studia il segno degli incrementi Λf = f (x+1) – f (x)

Se gli incrementi sono positivi la funzione è crescente; se gli incrementi sono negativi, la funzione è decrescente.

Se i valori sono numerosi si rappresenta la funzione nel continuo, si calcola il valore della funzione in questi punti e si sceglie l’ottimo.

 

·      2 O PIU’ ALTERNATIVE: si hanno 2 o piu’ funzioni che rappresentano procedimenti differenti.

Si rappresenta in uno stesso sistema di assi cartesiani la funzione economica delle varie alternative e si determinano gli eventuali punti di intersezione detti punti d’indifferenza.

Esempio

Una casa editrice vuole stampare una collana di libri in edizione economica il cui prezzo di vendita è fissato in 10 €. Per la composizione e la stampa deve decidere fra le seguenti due alternative:

a) eseguire il lavoro in proprio per cui sono previsti i seguenti costi:

 - 4.000 € per spese fisse
 - 2 € per ogni libro

 - una spesa supplementare stimata pari allo 0,1 % del quadrato del numero dei libri prodotti.

b) far eseguire il lavoro da terzi che richiedono 8 € per ogni libro.

Determinare quale alternativa è più conveniente secondo il numero di libri che intende stampare, se è prevista una tiratura massima di 6.000 libri.

 

2.      CERTEZZA DIFFERITI

Nei casi di certezza differiti si hanno problemi di investimento e di finanziamento che si risolvono con i metodi risolutivi di sconto composto.

 

·      CRITERIO ATTUALIZZAZIONE: Si calcola il valore attuale ad un tasso prefissato di costi e ricavi futuri delle diverse alternative (SI POSSONO FARE SCELTE DIVERSE)

·      CRITERIO DEL TASSO EFFETTIVO D’IMPIEGO: bisogna determinare a quale tasso il valore attuale dei ricavi eguaglia il valore attuale dei costi e poi si risolve un’equazione in cui la x è il tasso mediante l’INTERPOLAZIONE.

·      CRITERIO DELL’ONERE MEDIO ANNUO: bisogna ripartire costi e ricavi come rate costanti di una rendita per i vari anni

 

 

3.      INCERTEZZA IMMEDIATI

Può derivare da mancanza d’informazioni , immissione sul mercato di prodotti concorrenti, ecc……

 

·      CRITERIO DEL VALORE MEDIO (O SPERANZA ARITMETICA): consiste nel calcolare per ogni alternativa il valore medio dei risultati. La somma delle probabilità deve dare 1. Si sceglie il valore medio maggiore se si tratta di guadagno e minore se si tratta di costo.

 

Esempio

Per la produzione di una merce un’impresa può seguire due processi produttivi che comportano costi diversi:

A: spese fisse 3.000 €, costo 14 € per ogni pezzo prodotto;

B: spese fisse 800 €, costo per ogni pezzo prodotto e costo di manutenzione degli impianti valutato pari allo 0.5% del quadrato delle quantità prodotte.

La merce è venduta a 30 € al pezzo.

Sapendo da ricerche di mercato che le quantità vendute sono aleatorie e hanno la seguente distribuzione di probabilità:

  

Determinare il processo produttivo più conveniente in base al criterio del valore medio.

 

·      SCELTE CHE TENGONO CONTO DEL RISCHIO:  si calcola lo scarto quadratico medio che è = a 0 se tutti i dati sono uguali tra loro. Poi per scegliere fra le varie alternative si fissa il livello massimo i rischio M(Ah)

                                      n

·      CRITERIO DEL PESSIMISTA: utile à il valore < dei risultati e fra questi si sceglie il MAX

                                                          costi à il valore > dei risultati e fra questi si sceglie il MIN

 

4.      INCERTEZZA DIFFERITI

Si ha in caso di investimenti di capitali in cui i costi e i ricavi sono fenomeni aleatori.

Si determina il valore medio dei V.A. di ricavi e di costi di ogni alternativa e si sceglie l’alternativa con il valore medio maggiore.

 

5.      IL PROBLEMA DELLE SCORTE

Un problema importante che devono affrontare le imprese è il problema delle scorte.

Ogni impresa industriale per la sua produzione  ha necessità di avere in magazzino una quantità sufficiente di materia prima, ogni ditta commerciale per la vendita di merci ha necessità di avere in magazzino una quantità sufficiente delle varie merci per soddisfare le richieste dei clienti.

Per le ordinazioni, oltre alla spesa della merce ordinata, si sostengono delle spese fisse e quindi si devono fare poche ordinazioni, ciascuna di grandi quantità di merce.

La conservazione della merce in magazzino comporta varie spese per assicurazione, sorveglianza, deperimento della merce stessa, per cui è preferibile avere in giacenza una piccola quantità di merce, continuamente rinnovabile.

 

Le due esigenze sono fra loro contrastanti perciò si cerca di determinare la quantità di merce da ordinare ogni volta in modo da rendere minima la spesa complessiva per le ordinazioni e il magazzinaggio.

Il problema delle scorte sarebbe un problema di decisioni in condizioni di incertezza perché vari sono i fattori aleatori.

Si assumono due ipotesi semplificatrici:

  • si suppone che il consumo della merce sia uniforme nel tempo;

  • si suppone che la merce ordinata arrivi appena è terminata la merce della precedente ordinazione

 

x : merce da acquistare per ogni ordinazione

Q : merce necessaria in una dato intervallo di tempo

S . spesa ordinazione (Fissa)

S: spesa di magazzino

(Q/x) : numero di ordinazioni

T : 365/numero di ordinazioni

 

costo ordinazione : y1= (Q/x) * S

costo di magazzino : y2= (x/2) * s

 

Costo complessivo  y = S * (Q/x) + s * (x/2) da minimizzare

                                  y1 = (SQ/x) + (s/2)       

 

Esempio

Un impresa commerciale ha una vendita giornaliera media di 50 kg di una merce per 300 giorni l’anno. Ogni ordinazione comporta una spesa fissa di 50 € e le spese annue di magazzinaggio sono di 1,5 € al kg.

Determinare la quantità ottima da ordinare ogni volta e il numero annuo delle ordinazioni nei seguenti casi:

a)      la capacità del magazzino è di 18 q;

b)      la capacità del magazzino è di 7,5 q.

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