Problemi sulla similitudine

1) Un triangolo ABC rettangolo in B ha i cateti AB e BC che misurano rispettivamente ¾ l ed l. Per un punto D dell ipotenusa traccia le parallele ai cateti. Determina la posizione del punto D su AC in modo che il perimetro del rettangolo così ottenuto sia 11/6 l.

A

H D AB = ¾ l

BC = l

2p (BKDH) = 11/6 l

B C

K

AC = 5/4 l

AD = x 0< x <5/4 l

AHD simile ABC AD : HD = CA : CB HD = 4/5 x

AH D simile ABC AD :A H = CA : AB AH = 3/5 x

HB = 3/4l – 3/5 x

2 ( 4/5 x +3/4 l -3/5 x) = 11/6 l

x =5/6 l

2) Nel triangolo ABC il 2p è cm 62, il lato AB è 3/5 del lato BC il quale supera di cm 2 i 3/5 del lato AC. Dal punto M di AB tale che AM = 4 cm si conduca la corda MN parallela al lato AC. Determinare la lunghezza di MN.

C

2p = 62 cm

AB = 3/5 BC

N BC =3/5 AC + 2 cm

AM = 4 cm

MN ?

A M B

AC = x BC = 3/5 x +2 AB = 3/5 (3/5 x + 2)

x + 3/5 x + 2 + 3/5 (3/5 x + 2) = 62

49/25 x = 294/5

x = 30

AC = 30 cm BC = 20 cm AB = 12 cm

ABC simile NMB MB : AB = NM : AC NM = 20 cm

3) Le basi di un trapezio sono lunghe 10 m e 15 m e gli altri due lati 7 m e 9 m; calcolare le misure dei lati dei triangoli che si ottengono prolungando i lati non paralleli del trapezio.

E

D AB = 15 m

C DC = 10 m

AD = 9 m

BC = 7 m

A B

ABE simile DEC AB : DC = AE : DE

DE = x AE = AD + DE

15 : 10 = ( 9 + x ) : x

10 * 9 + 10 * x = 15 *x

x = 18

AB : DC = BE : EC

EC = x BE = CB + EC

15 : 10 = ( 7 + x ) : x

x = 14

Lati del triangolo DEC : DC = 10 m, DE = 18 m, EC = 14 m.

Lati del triangolo ABE : AB =15m, AE = 27 m, EB = 21 m.

4) Le aree di due poligoni simili stanno tra loro come 16 : 9 e il perimetro del poligono minore è lungo 120 cm; trovare il 2p dell altro poligono.

S = superficie poligono maggiore

S = superficie poligono minore

2p = perimetro poligono maggiore

2p = perimetro poligono minore

S : S = 16 : 9

2p : 2p = 4: 3

2p = 160 cm

5) Un triangolo ha il lato AB che misura 22a, l’angolo ABC di 60° e l’angolo ACB di 45°. Si vuole inscrivere in esso un quadrato con un lato sul segmento BC. Quanto misura il lato di tale quadrato?

A ABC = 60°

G F ACB = 45°

AB = 22a

BD E C DE = ?

BD = x BG = 2x DG = x

BH = 11a AH = 11a HC = 11a

BC = 11a + 11a BC = 11a ( 1+ )

DE = BC – (BD + EC )

DE = 11a ( 1 + )- ( 1 + ) x

DE = ( 1+ ) (11a – x )

Affinché DEFG sia un quadrato deve sussistere la relazione DE = GD

x = 11a ( 1 + ) – (1 + ) x

( 2 + 1 ) x = 11a ( 1+ )

x = a (5 + )

DE = (5+ 3) a

6) Un triangolo ha l’area di 3956 a e la base di 92 a. Trovare le dimensioni di un rettangolo inscritto nel triangolo dato ed avente un lato sulla base, in modo che la sua area sia 1978 a.

C

AB = 92 a

S = 3956 a

S = 1978 a

A D H E B

CH = 2* 3956 a / 96 a CH = 86 a

GD = x

DE = 1978 a /x

Nei triangoli simili ABC e CGF si ha: AB : CH = GF : CK

92 a : 86 a = (1978 a /x ) : ( 86 a – x )

23 x– 1978 ax + 42527 a= 0

x = 43 a

GD = 43 a DE = 46 a

7) Nel triangolo rettangolo ABC il cateto AC è doppio del cateto AB = a. Preso un punto P sul cateto AB, si determini la distanza PB in modo che sia verificata la relazione

AP+ PH = 21/20 PB dove H è la proiezione ortogonale di P su BC.