Argomenti di matematica

X02A – ESAMI DI MATURITà â‚¬ SCIENTIFICA SPERIMENTALE 1997

 

Argomenti di matematica

 

1. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sia data la parabola g di equazione y = x2 e sia P un suo punto di ascissa l ¹ 0 ed r la parallela per P all’asse y.

Siano g1 e g2 le parabole con asse la retta r, vertice in P e stessa distanza focale di g (distanza fuocoà¢â‚¬â€˜direttrice, pari a  per la parabola di equazione y = ax2 + bx + c).

Il candidato:

 

a)  scriva in funzione di l le equazioni di g1 e g2, essendo g1 la parabola che incontra g solo in P;

b)  scriva le equazioni delle trasformazioni che mutano g in g1 e g in g2;

c)  dica la natura di dette trasformazioni precisando se si tratta di trasformazioni dirette o inverse e se hanno elementi che si trasformano in se stessi;

d) fissato l= 1 e dette T, T1, T2 le rispettive intersezioni di  g , g1 e g2 con  la retta di equazione x à¢â‚¬â€˜ h = 0, studi la funzione , al variare di h, e ne tracci il relativo grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O’hz.

 

 

2. In un  piano  riferito ad un sistema di assi  cartesiani ortogonali  Oxy sia  r la retta di equazione x à¢â‚¬â€˜ 1 = 0 e P un suo punto. Siano A e B i punti d’intersezione della retta OP con la circonferenza di centro P e raggio .

 

Il candidato:

a) verifichi che il luogo di A e B, al variare del punto P su r, è dato dalle curve g1 e g2, rispettivamente di equazione y = f1(x) e y = f2(x), essendo:

 

b)  determini l’insieme E di esistenza della funzione f1(x), gli insiemi in cui essa assume valore positivo, negativo o nullo, gli eventuali asintoti, il valore x0 in cui ha un massimo relativo, e dimostri che le tangenti a g1 nei punti le cui ascisse sono gli estremi di E nei quali f1(x) è definita, sono parallele all’asse y;

 

c)  disegni la curva g1 e, quindi, la curva g2;

 

d) detta t la tangente alla curva g1, nel suo punto M(x0 , f(x0)) determini l’ulteriore intersezione di t con g1­.