Assiomi, Teoremi e Postulati di Geometria
W il 25 Aprile 2012 festa della Liberazione – di Francesco Lena
16 Aprile 201285 anni: auguri al Papa! – di Maurizio Zini
17 Aprile 2012ASSIOMI
Assioma 1 » cose uguali ad una stessa sono uguali.
Assioma 2 » uguali aggiunti ad uguali sono uguali.
Assioma 3 » uguali sottratti ad uguali sono uguali.
Assioma 4 » cose che coincidono tra loro sono uguali.
Assioma 5 » il tutto è maggiore di ogni sua parte.
POSTULATI
Postulato 1 » da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.
Postulato 2 » ogni retta terminata si può prolungare continuamente per diritto.
Postulato 3 » con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un centro.
Postulato 4 » tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
Postulato 5 » se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli alterni da una stessa parte
Minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte
In cui sono i due angoli minori di due retti.
TEOREMI DI GEOMETRIA
Teorema 1 » primo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno un angolo e i lati che lo formano in comune sono congruenti.
Ipotesi » A = A’
» AB = A’B’
» AC = A’C’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » immagino di sovrapporre l’angolo A’ ad A con un movimento rigido in modo che
Vertici e lati AB e A’B’ coincidano.
» deduco che AB = A’B’ » per ipotesi 1
» deduco che AC = A’C’ e che C = C’ » per ipotesi 2,3
» deduco che i due triangoli hanno i vertici coincidenti
» possibile per assioma 4
Scheda » concetti » triangolo, angolo, lato
» idea centrale » sovrapporre i triangoli mediante un movimento rigido
» A.P.T.U. » assioma 4
Teorema 2 » secondo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli e il loro lato comune congruente allora sono congruenti.
Ipotesi » angoli B = B’
» angoli C = C’
» BC = B’C’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » immagino di sovrapporre mediante movimento rigido i lati A’B’ con AB
» è possibile per ipotesi 3
» osservo che le semirette A’B’ e C’A’ si sovrappongono rispettivamente
Ad AB e CA
» è possibile per l’ipotesi 1,2
» deduco che C’ = C quindi i triangoli sono completamente corrispondenti
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo
» idea centrale » sovrapporre i due lati con il movimento rigido
» A.P.T.U. » nessuno
Teorema 3 » angoli alla base del triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti.
Ipotesi » AB = CA
Tesi » angoli ABC = BCA
Dimostrazione » traccio la bisettrice dell’angolo A che incontra BC nel punto H
» considero i triangoli BHA e HCA essi hanno:
– AH in comune
– AB = CA per ipotesi
– Angoli CAH = HAB per costruzione
» deduco che BHA =HCA » per teorema 1
» in particolare gli angoli ABC = BCA » CVD
Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo
» idea centrale » tracciare la bisettrice dell’angolo al vertice
» A.P.T.U. » teorema 1
Teorema 4 » proprietà del triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana
relativa alla base.
Ipotesi » AC = BC
» angoli ACH = HBA
Tesi » CH AB
» AH = HB
Dimostrazione » considero i triangoli AHC e HBC essi hanno:
– CH in comune
– AC = BC per ipotesi
– Angoli ACH = HBA per ipotesi
» deduco che AHC = HBC » per teorema 1
» in particolare AH = HB » CVD 1
» deduco che gli angoli AHC e BHC sono retti perché adiacenti e congruenti » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo isoscele, bisettrice, altezza, mediana, angolo, base
» idea centrale » considerare i due triangoli che si formano tracciando l’altezza
» A.P.T.U. » teorema 1
Teorema 5 » triangolo con due angoli uguali (inverso del teorema 3)
Un triangolo avente due angoli uguali è isoscele ed ha uguali i due lati opposti ai due angoli uguali.
Ipotesi » angoli ABC = BCA
Tesi » AB = CA
Dimostrazione » traccio le bisettrici BP e QC degli angoli congruenti
» considero i triangoli BPC e CQB essi hanno:
– BC in comune
– Angoli BCP = CBQ per ipotesi
– Angoli PBC = QCB perché metà di angoli uguali
» deduco che BPC = CQB » per teorema 2
» in particolare BP = CQ e angoli CPQ = BQC
» considero i triangoli BPA e CQA essi hanno:
– BP = CQ per dimostrazione precedente
– Angoli PBA = QCA perché supplementari di angoli uguali
– Angolo A in comune
» deduco che BPA = CQA » per teorema 2
» in particolare AB = CA » CVD
Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo, lato
» idea centrale » tracciare le bisettrici degli angoli congrienti
» A.P.T.U. » teorema 2
Teorema 6 » terzo criterio di uguaglianza dei triangoli
Due triangoli aventi i lati rispettivamente congruenti sono congruenti.
Ipotesi » AB = A’B’
» BC = B’C’
» CA = C’A’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » sposto attraverso il ribaltamento il secondo triangolo nel semipiano delimitato
dalla retta AB non contenente C in modo che A’B’ coincida con AB
– triangolo acutangolo » CC’ interseca AB in D interno ad AB
– triangolo ottusangolo » CC’ interseca AB in D esterno ad AB
– triangolo rettangolo » CC’ interseca AB in B, uno degli angoli interni del triangolo
» congiungo i punti C con C’
– triangolo acutangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli
» angoli ACB = A’C’B’ perché somme di angoli uguali » per assioma 2
» deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1
– triangolo ottusangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli
» angoli ACB = A’C’B’ perché differenza di angoli uguali » per assioma 3
» deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1
– triangolo rettangolo » si hanno i triangoli ABC e ABC’ essi hanno
» AB in comune
» due angoli del lato in comune congruenti per costruzione
» deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 2
Scheda » concetti »
» idea centrale »
» A.P.T.U. »
Teorema 7 » primo teorema dell’angolo esterno
In un triangolo l’angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente.
Ipotesi » ACD è un angolo esterno
Tesi » ACD > A
» ACD > B
Dimostrazione » traccio la mediana BM e un segmento MN = BM poi congiungo N a D
» considero i triangoli AMB e ACN essi hanno:
– BM = MN per costruzione
– AM = MC per costruzione
– Angoli AMB = NMC per il teorema degli angoli opposti al vertice
» deduco che AMB = ACN » per teorema 1
» in particolare gli angoli BAM = MCN
» deduco che ACD > A perché è una sua parte » CVD 1
» con procedimento analogo dimostro che ACD > B » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo, angolo interno / esterno / adiacente
» idea centrale » tracciare la mediana, il segmento MN e congiungerlo con D
» A.P.T.U.» teorema 1
Teorema 8 » lato maggiore
In un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa.
IMPLICAZIONE DIRETTA » se AC > BC allora esiste un punto D su AC tale che AD = AB
Ipotesi » AC > BC
Tesi » angoli ABC > BAD
Dimostrazione » deduco che ABC > ABD perché BD è un raggio dell’angolo ABC
» ABD = ADB » per teorema 3 riferito al triangolo ABD
» ADB > BAD » per teorema 7 riferito al triangolo DBC
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza
» A.P.T.U. » teorema 3,7
IMPLICAZIONE INVERSA » osservo che AC non può essere né congruente né minore di CB
Ipotesi » angoli ABC > BAD
Tesi » AC > BC
Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi
– se fosse AC = BC » triangolo dovrebbe essere isoscele » angoli ABC = BAD » per teorema 5
– se fosse AC < BC » ABC < BAD per implicazione diretta » negazione ipotesi
» deduco che AC > BC per ipotesi 1
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza
» idea centrale » metodo per assurdo
» A.P.T.U. » teorema 5
Teorema 9 » disuguaglianza dei triangoli
In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
Teorema 10 » lato differente da altri due
In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due
Teorema 11 » unicità perpendicolare
Se due triangoli hanno una coppia di lati a due a due congruenti e gli angoli compresi disuguali, tra i lati opposti a questi vi è una disuguaglianza nello stesso verso.
Teorema 12 » rette perpendicolari ad una trasversale
Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.
Esercizio non sviluppato. Svolgilo tu!
Ipotesi »
»
Tesi »
Dimostrazione »
»
»
»
Scheda » concetti »
» idea centrale »
» A.P.T.U. »
Teorema 13 » rette perpendicolari
Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni congruenti allora
– le coppie di angoli alterni esterni sono congruenti
– le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti
– le coppie di angoli coniugati sono supplementari
Ipotesi » 4 = 6
Tesi » 1 = 7 ; 2 = 8
» 1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8
» 1 + 8 ; 2 + 7 ; 3 + 6 ; 4 + 5 = 180°
Dimostrazione » osservo che 2 è opposto al vertice rispetto a 4
» osservo che 8 è opposto al vertice rispetto a 6
» deduco che 2 = 4 e 8 = 6 » per teorema degli angoli opposti al vertice
» deduco che 2 = 8 » per ipotesi + assioma 4 » CVD 1
» osservo che 3 è adiacente a 4 e che 7 è adiacente a 6
» deduco che 3 = 7 » per assioma 3 » CVD 2
» considero 4 e 5:
– 4 = 6 per ipotesi
– 5 è supplementare di 6 in quanto adiacente
» deduco che 5 + 6 = 180° » 6 = 4 » 5 + 4 = 180° » per assioma 2 » CVD 3
Scheda » concetti » retta, trasversale, angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati, corrispondenti
» idea centrale » considerare 2 e 8
» A.P.T.U. » assioma 2,3,4
Teorema 14 » teorema diretto sulle parallele
Rette che individuano con una trasversale coppie di angoli alterni congruenti sono parallele.
Ipotesi » 1 = 2
Tesi » a // b
Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi » ????????????
» considero il triangolo ABC
» considero l’angolo esterno â^, ad ABC esso gode di queste proprietà
– â^, = 2 » perché angoli corrispondenti » per teorema 13
– â^, > 2 » perché esterno a 2 » per teorema 7
» osservo che c’è una contraddizione » deduco che la tesi è vera
Scheda » concetti » retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni
» idea centrale » metodo per assurdo
» A.P.T.U. » teorema 7,13
Teorema 15 » teorema inverso sulle parallele
Nel piano euclideo due rette parallele formano con una trasversale coppie di angoli alterni interni congruenti.
Ipotesi » a // b
Tesi » 1 = 2
Dimostrazione » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » 1 > 2 » ????
» deduco che c // b » per teorema 14
» deduco che a non è parallelo a b » per postulato 5
» contraddizione dell’ipotesi » deduco che la tesi è vera
Scheda » concetti » piano euclideo, retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni
» idea centrale » metodo per assurdo
» A.P.T.U. » teorema 14
» postulato 5
Teorema 16 » trasversale di rette parallele
Se una retta t interseca una retta r (senza coincidere), allora interseca ogni retta parallela ad r.
Teorema 17 » perpendicolare a rette parallele
Se una retta r è perpendicolare ad una retta s, allora r è perpendicolare ad ogni retta parallela a s.
Teorema 18 » distanza di due rette parallele
I punti di una retta sono equidistanti da una sua parallela.
Teorema 19 » parallela ad una parallela
Due rette che sono parallele a una stessa retta sono parallele tra loro.
Teorema 20 » lati opposti di un parallelogrammo
I lati opposti di un parallelogrammo sono congruenti.
Teorema 21 » fascio di rette
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra.
Ipotesi » a // b // c // d
» r, t sono trasversali
» AB = CD
Tesi » A’B’ = C’D’
Dimostrazione » traccio la retta a’ parallela a t passante per A
» traccio la retta c’ parallela a t passante per C
» considero i parallelogrammi AA’B’B’ e CC’D’D’ essi hanno:
– AB’ = A’B’ » per teorema 20
– CD’ = C’D’ » per teorema 20
» considero i triangoli ABB’ e CDD’ essi hanno :
– angoli BAB’ = DCD’ » perché corrispondenti di a’ // c’ » per teorema 13
– angoli ABB’ = CDD’ » perché corrispondenti di a // c » per teorema 13
– AB = CD » per ipotesi
» deduco che i triangoli ABB’ = CDD’ » per teorema 2
» in particolare hanno AB’ = CD’
» deduco che A’B’ = C’D’ » per la proprietà transitiva della congruenza
Scheda » concetti » rette parallele, trasversale, segmento
» idea centrale » tracciare le rette a’, c’ // t
» A.P.T.U. » teoremi 2,13,20
Teorema 22 » secondo teorema dell’angolo esterno
Dato un triangolo qualsiasi
– ciascun angolo esterno è pari alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.
– la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
Ipotesi » ACD = angolo esterno
Tesi » angoli ACD = CAB + ABC
» ABC + BCA + CAB = 180°
Dimostrazione » traccio la retta r // AC » per postulato 5
» considero AC trasversale di r e AC
» deduco che gli angoli CAB = ACE » per teorema 14
» considero AB trasversale di r e AC
» deduco che gli angoli ABC = ECD » per teorema 13 (sono corrispondenti)
» deduco che ACD = ACE + ECD
» deduco che ACD = CAB + ABC » per assioma 1 » CVD 1
» deduco che ACB + ACE + ECD = 180° » per costruzione
» deduco che ACB + CAB + ABC = 180° » per assioma 1 » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo, angolo esterno / interno / adiacente / piatto
» idea centrale » tracciare la retta r // AC
» A.P.T.U. » postulato 5
» assioma 1
» teorema 13,14
Teorema 23 » congiungente dei punti medi di un triangolo
Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.
Teorema 24 » trapezi
In un trapezio isoscele
– gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti
– le diagonali sono congruenti
Teorema 25 » proprietà del parallelogrammo
In un parallelogrammo:
– i lati opposti sono congruenti.
– Gli angoli opposti sono congruenti.
– Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà (=si bisecano).
Ipotesi » ABCD è un parallelogrammo
Tesi » AD = BC
AB = DC
» ABC = CDA
DAB = BCD
» AO = OC
DO = OB
Dimostrazione » traccio le diagonali e deduco che AB = CD e che BC = DA
» per teorema 20 » CDV 1
» deduco che gli angoli ABC = ADC » perché corrispondenti dei triangoli
Congruenti ABC e ACD » CVD 2
» deduco che gli angoli DAB = BCD » per assioma 2 (somma di angoli = )
» considero i triangoli DAO e BCO essi hanno:
– AD = BC » per teorema 20
– Angolo D = B » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)
– Angolo A = C » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)
» deduco che DAO = BCO » per teorema 2
» in particolare che AO = OC e DO = OB » CDV 3
Scheda » concetti » parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonale
» idea centrale » confrontare i triangoli che si formano tracciando le diagonali
» A.P.T.U. » assioma 2
» teorema 2,13,20
Teorema 26 » proprietà inverse del parallelogrammo (inverso del teorema 25)
Un quadrilatero è un parallelogrammo se è verificata anche una sola delle seguenti condizioni:
– i lati opposti sono congruenti
– gli angoli opposti sono congruenti
– le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.
CONDIZIONE 1
Ipotesi » BC = AD
» CD = AB
Tesi » BC // AD
CD // AB
Dimostrazione » traccio la diagonale BD
» considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:
– BD in comune
– BC = AD » per ipotesi 1
– CD = AD » per ipotesi 2
» deduco che BCD = ABD » per teorema 6
» in particolare gli angoli BDA = DBC
» deduco che BC // AD e CD // AB » per teorema 14
CONDIZIONE 2
Ipotesi » angoli A = C
» angoli B = D
Tesi » AD // BC
AB // CD
Dimostrazione » deduco che la somma degli angoli interni del quadrilatero è due angoli piatti
» per teorema 22 (il quadrilatero infatti si può dividere in due triangoli)
» deduco che A + B + C + D = 2A + 2B = 360°
» è possibile per ipotesi 1,2
» deduco che A + B = 180°
» deduco che AD // BC » per teorema 13
» analogamente anche AB // CD
CONDIZIONE 3
Ipotesi » AO = OC
» BO = OD
Tesi » AD // BC
AB // CD
Dimostrazione » considero i triangoli AOB e COD essi hanno:
– AO = OC » per ipotesi
– BO = OD » per ipotesi
– Angoli COB = DOA » per teorema degli angoli opposti al vertice
» deduco che AOB = COD » per teorema 1
» in particolare AB = DC e AD = BC
» deduco che AD // BC e AB // CD » per condizione 1
Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonali
» idea centrale » condizione 1,2 » tracciare le diagonali
» condizione 3 » considerare i triangoli AOD e COB
» A.P.T.U. » teorema 1,6,13,14
Teorema 27 » lati opposti del parallelogrammo (inverso del teorema 20)
un quadrilatero è un parallelogrammo se ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.
Ipotesi » AB = CD
» AB // CD
Tesi » AD // CD
Dimostrazione » traccio la diagonale BD
» considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:
– AB = CD » per ipotesi
– BD in comune
– Angoli ABD = BDC » per teorema 13 + ipotesi
» deduco che BCD = ABD » per teorema 1
» in particolare gli angoli ADB = DBC
» deduco che AD // CD » per teorema 14 » CDV
Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati opposti, parallelismo
» idea centrale » traccio la diagonale BD
» A.P.T.U. » teorema 1,13,14
Teorema 28 » intersezione di mediane
Il punto d’intersezione di due mediane di un triangolo le divide in due parti tali che quella uscente dal vertice è il doppio dell’altra
Ipotesi » AP = PC
» AM = MB
Tesi » BK = 2KP
» CK = 2 KM
Dimostrazione » traccio un segmento MP
Scheda » concetti »
» idea centrale »
» A.P.T.U. »
.
Teorema 29 » baricentro unico
Le mediane di un triangolo passano tutte per uno stesso punto.
Ipotesi » AM = MB
» BN = NC
» CP = PA
Tesi » MC BP AN = K
Dimostrazione » considero K il punto d’intersezione delle mediane BP MC
» uso il metodo per assurdo » nego la tesi » la mediana AN non passa per K
» deduco che AN si interseca con BC in N’ ? N
» deduco che » KP = BP/3 » per teorema 28
» N’P = BP/3 » per teorema 28
» deduco che KP = N’P
» contraddizione della tesi perché N’? K
» deduco che AN passa per K » CVD
Scheda » concetti » mediana, triangolo, punto
» idea centrale » metodo per assurdo
» A.P.T.U. » teorema 28
Teorema 30 » diagonali del rettangolo
Le diagonali di un rettangolo sono tutte congruenti.
Ipotesi » ABCD rettangolo
Tesi » AC = BD
Dimostrazione » traccio le diagonali AC e BD
» considero i triangoli ABC e BCD essi hanno:
– AB = DC » per ipotesi
– BC in comune
– Gli angoli ABC = BCD » per postulato 4
» deduco che ABC = BCD » per teorema 1
» in particolare AC = BD » CVD
Scheda » concetti » diagonale, rettangolo
» idea centrale » tracciare le diagonali
» A.P.T.U. » postulato 4
» teorema 1
Teorema 31 » diagonali del rombo 1
Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.
Ipotesi » AB = BC = CD = DA
» AB // BC // CD // DA
Tesi » angolo AOD = 90 °
Dimostrazione » traccio le diagonale del rombo e considero O punto d’intersezione tra di esse
» considero il triangolo ACD
» deduco che AD = DC » il triangolo è isoscele » per ipotesi 1
» deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25
» deduco che DO è la mediana relativa alla base AC
» deduco che gli angoli AOD e COD = 90° » per teorema 4 » CVD
Scheda » concetti » rombo, angolo retto, perpendicolarità, diagonale
» idea centrale » tracciare le diagonali del rombo
» A.P.T.U. » teorema 4,25
Teorema 32 » diagonali del rombo 2
Le diagonali di un rombo sono bisettrici degli angoli.
Ipotesi » ABCD rombo
Tesi » angoli ADO = CDO
DCO = BCO
CBO = ABO
BAO = DAO
Dimostrazione » traccio le diagonali del rombo AC e BD
» deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25
» deduco che DO è mediana di AC e bisettrice dell’angolo ADC del triangolo CDA
» per teorema 4
» deduco che gli angoli ADO = CDO » CVD
» dimostro analogamente anche per gli altri angoli
Scheda » concetti » rombo, diagonale, bisettrice, angolo
» idea centrale » tracciare le diagonali
» A.P.T.U. » teorema 4,25
