Assiomi, Teoremi e Postulati di Geometria

ASSIOMI

Assioma 1 » cose uguali ad una stessa sono uguali.
Assioma 2 » uguali aggiunti ad uguali sono uguali.
Assioma 3 » uguali sottratti ad uguali sono uguali.
Assioma 4 » cose che coincidono tra loro sono uguali.
Assioma 5 » il tutto è maggiore di ogni sua parte.
POSTULATI
Postulato 1 » da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.
Postulato 2 » ogni retta terminata si può prolungare continuamente per diritto.
Postulato 3 » con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un centro.
Postulato 4 » tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
Postulato 5 » se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli alterni da una stessa parte
                       Minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte
                       In cui sono i due angoli minori di due retti.
TEOREMI DI GEOMETRIA
Teorema 1 » primo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno un angolo e i lati che lo formano in comune sono congruenti.
Ipotesi » A = A’
            » AB = A’B’
            » AC = A’C’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » immagino di sovrapporre l’angolo A’ ad A con un movimento rigido in modo che
                            Vertici e lati AB e A’B’ coincidano.
                        » deduco che AB = A’B’ » per ipotesi 1
                        » deduco che AC = A’C’ e che C = C’ » per ipotesi 2,3
                        » deduco che i due triangoli hanno i vertici coincidenti
                        » possibile per assioma 4
Scheda » concetti » triangolo, angolo, lato
             » idea centrale » sovrapporre i triangoli mediante un movimento rigido
             » A.P.T.U. » assioma 4
                       
Teorema 2 » secondo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli e il loro lato comune congruente allora sono congruenti.
Ipotesi » angoli B = B’
            » angoli C = C’
            » BC = B’C’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » immagino di sovrapporre mediante movimento rigido i lati A’B’ con AB
                        » è possibile per ipotesi 3
                        » osservo che le semirette A’B’ e C’A’ si sovrappongono rispettivamente
                           Ad AB e CA
                        » è possibile per l’ipotesi 1,2
                        » deduco che C’ = C quindi i triangoli sono completamente corrispondenti
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo
             » idea centrale » sovrapporre i due lati con il movimento rigido
             » A.P.T.U. » nessuno
Teorema 3 » angoli alla base del triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti.
Ipotesi » AB = CA
Tesi » angoli ABC = BCA
Dimostrazione » traccio la bisettrice dell’angolo A che incontra BC nel punto H
                        » considero i triangoli BHA e HCA essi hanno:
          AH in comune
          AB = CA per ipotesi
          Angoli CAH = HAB per costruzione
                        » deduco che BHA =HCA » per teorema 1
                        » in particolare gli angoli ABC = BCA » CVD
Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo
             » idea centrale » tracciare la bisettrice dell’angolo al vertice
             » A.P.T.U. » teorema 1
Teorema 4 » proprietà del triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana
relativa alla base.
Ipotesi » AC = BC
            » angoli ACH = HBA
Tesi » CH AB
        » AH = HB
Dimostrazione » considero i triangoli AHC e HBC essi hanno:
          CH in comune
          AC = BC per ipotesi
          Angoli ACH = HBA per ipotesi
                        » deduco che AHC = HBC » per teorema 1
                        » in particolare AH = HB » CVD 1
                        » deduco che gli angoli AHC e BHC sono retti perché adiacenti e congruenti » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo isoscele, bisettrice, altezza, mediana, angolo, base
             » idea centrale » considerare i due triangoli che si formano tracciando l’altezza
             » A.P.T.U. » teorema 1
Teorema 5 » triangolo con due angoli uguali (inverso del teorema 3)
Un triangolo avente due angoli uguali è isoscele ed ha uguali i due lati opposti ai due angoli uguali.
Ipotesi » angoli ABC = BCA
Tesi » AB = CA
Dimostrazione » traccio le bisettrici BP e QC degli angoli congruenti
                        » considero i triangoli BPC e CQB essi hanno:
          BC in comune
          Angoli BCP = CBQ per ipotesi
          Angoli PBC = QCB perché metà di angoli uguali
                        » deduco che BPC = CQB » per teorema 2
                        » in particolare BP = CQ e angoli CPQ = BQC
                        » considero i triangoli BPA e CQA essi hanno:
          BP = CQ per dimostrazione precedente
          Angoli PBA = QCA perché supplementari di angoli uguali
          Angolo A in comune
                        » deduco che BPA = CQA » per teorema 2
                        » in particolare AB = CA » CVD
Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo, lato
             » idea centrale » tracciare le bisettrici degli angoli congrienti
             » A.P.T.U. » teorema 2
Teorema 6 » terzo criterio di uguaglianza dei triangoli
Due triangoli aventi i lati rispettivamente congruenti sono congruenti.
Ipotesi » AB = A’B’
            » BC = B’C’
            » CA = C’A’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » sposto attraverso il ribaltamento il secondo triangolo nel semipiano delimitato
                           dalla retta AB non contenente C in modo che A’B’ coincida con AB
          triangolo acutangolo » CC’ interseca AB in D interno ad AB
          triangolo ottusangolo » CC’ interseca AB in D esterno ad AB
          triangolo rettangolo » CC’ interseca AB in B, uno degli angoli interni del triangolo
                        » congiungo i punti C con C’
          triangolo acutangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli
      » angoli ACB = A’C’B’ perché somme di angoli uguali » per assioma 2
      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1
          triangolo ottusangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli
      » angoli ACB = A’C’B’ perché differenza di angoli uguali » per assioma 3
      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1
          triangolo rettangolo » si hanno i triangoli ABC e ABC’ essi hanno
      » AB in comune
      » due angoli del lato in comune congruenti per costruzione
      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 2
Scheda » concetti »
             » idea centrale »
             » A.P.T.U. »
Teorema 7 » primo teorema dell’angolo esterno
In un triangolo l’angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente.
Ipotesi » ACD è un angolo esterno
Tesi » ACD > A
        » ACD > B
Dimostrazione » traccio la mediana BM e un segmento MN = BM poi congiungo N a D
                        » considero i triangoli AMB e ACN essi hanno:
          BM = MN per costruzione
          AM = MC per costruzione
          Angoli AMB = NMC per il teorema degli angoli opposti al vertice
                        » deduco che AMB = ACN » per teorema 1
                        » in particolare gli angoli BAM = MCN
                        » deduco che ACD > A perché è una sua parte » CVD 1
                        » con procedimento analogo dimostro che ACD > B » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo, angolo interno / esterno / adiacente
             » idea centrale » tracciare la mediana, il segmento MN e congiungerlo con D
             » A.P.T.U.» teorema 1
 
Teorema 8 » lato maggiore
In un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa.
IMPLICAZIONE DIRETTA » se AC > BC allora esiste un punto D su AC tale che AD = AB
Ipotesi » AC > BC
Tesi » angoli ABC > BAD
Dimostrazione » deduco che ABC > ABD perché BD è un raggio dell’angolo ABC
                        » ABD = ADB » per teorema 3 riferito al triangolo ABD
                        » ADB > BAD » per teorema 7 riferito al triangolo DBC
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza
             » A.P.T.U. » teorema 3,7
IMPLICAZIONE INVERSA » osservo che AC non può essere né congruente né minore di CB
Ipotesi » angoli ABC > BAD
Tesi » AC > BC
Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi
          se fosse AC = BC » triangolo dovrebbe essere isoscele » angoli ABC = BAD » per teorema 5
          se fosse AC < BC » ABC < BAD per implicazione diretta » negazione ipotesi
                        » deduco che AC > BC per ipotesi 1
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza
             » idea centrale » metodo per assurdo
             » A.P.T.U. » teorema 5
Teorema 9 » disuguaglianza dei triangoli
In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
Teorema 10 » lato differente da altri due
In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due
Teorema 11 » unicità perpendicolare
Se due triangoli hanno una coppia di lati a due a due congruenti e gli angoli compresi disuguali, tra i lati opposti a questi vi è una disuguaglianza nello stesso verso.
Teorema 12 » rette perpendicolari ad una trasversale
Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.
Esercizio non sviluppato. Svolgilo tu!
Ipotesi »
            »
Tesi »
Dimostrazione »
                        »
                        »
                        »
Scheda » concetti »
             » idea centrale »
             » A.P.T.U. »
Teorema 13 » rette perpendicolari
Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni congruenti allora
          le coppie di angoli alterni esterni sono congruenti
          le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti
          le coppie di angoli coniugati sono supplementari
Ipotesi » 4 = 6
Tesi » 1 = 7 ; 2 = 8
        » 1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8
        » 1 + 8 ; 2 + 7 ; 3 + 6 ; 4 + 5 = 180°
Dimostrazione » osservo che 2 è opposto al vertice rispetto a 4
                        » osservo che 8 è opposto al vertice rispetto a 6
                        » deduco che 2 = 4 e 8 = 6 » per teorema degli angoli opposti al vertice
                        » deduco che 2 = 8 » per ipotesi + assioma 4 » CVD 1
                        » osservo che 3 è adiacente a 4 e che 7 è adiacente a 6
                        » deduco che 3 = 7 » per assioma 3 » CVD 2
                        » considero 4 e 5:
          4 = 6 per ipotesi
          5 è supplementare di 6 in quanto adiacente
                        » deduco che 5 + 6 = 180° » 6 = 4 » 5 + 4 = 180° » per assioma 2 » CVD 3
Scheda » concetti » retta, trasversale, angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati, corrispondenti
             » idea centrale » considerare 2 e 8
             » A.P.T.U. » assioma 2,3,4
Teorema 14 » teorema diretto sulle parallele
Rette che individuano con una trasversale coppie di angoli alterni congruenti sono parallele.
Ipotesi » 1 = 2
Tesi » a // b
Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi » ????????????
                        » considero il triangolo ABC
                        » considero l’angolo esterno  ad ABC esso gode di queste proprietà
           = 2 » perché angoli corrispondenti » per teorema 13
           > 2 » perché esterno a 2 » per teorema 7
                        » osservo che c’è una contraddizione » deduco che la tesi è vera
Scheda » concetti » retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni
             » idea centrale » metodo per assurdo
             » A.P.T.U. » teorema 7,13
Teorema 15 » teorema inverso sulle parallele
Nel piano euclideo due rette parallele formano con una trasversale coppie di angoli alterni interni congruenti.
Ipotesi » a // b
Tesi » 1 = 2
Dimostrazione » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » 1 > 2 » ????
                        » deduco che c // b » per teorema 14
                        » deduco che a non è parallelo a b » per postulato 5
                        » contraddizione dell’ipotesi » deduco che la tesi è vera
Scheda » concetti » piano euclideo, retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni
             » idea centrale » metodo per assurdo
             » A.P.T.U. » teorema 14
                                » postulato 5
Teorema 16 » trasversale di rette parallele
Se una retta t interseca una retta r (senza coincidere), allora interseca ogni retta parallela ad r.
Teorema 17 » perpendicolare a rette parallele
Se una retta r è perpendicolare ad una retta s, allora r è perpendicolare ad ogni retta parallela a s.
Teorema 18 » distanza di due rette parallele
I punti di una retta sono equidistanti da una sua parallela.
Teorema 19 » parallela ad una parallela
Due rette che sono parallele a una stessa retta sono parallele tra loro.
Teorema  20 » lati opposti di un parallelogrammo
I lati opposti di un parallelogrammo sono congruenti.
Teorema 21 » fascio di rette
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra.
Ipotesi »  a // b // c // d
            » r, t sono trasversali
            » AB = CD
Tesi » A’B’ = C’D’
Dimostrazione » traccio la retta a’ parallela a t passante per A
                        » traccio la retta c’ parallela a t passante per C
                        » considero i parallelogrammi AA’B’B’’ e CC’D’D’’ essi hanno:
          AB’’ = A’B’ » per teorema 20
          CD’’ = C’D’ » per teorema 20
                        » considero i triangoli ABB’’ e CDD’’ essi hanno :
          angoli BAB’’ = DCD’’ » perché corrispondenti di a’ // c’ » per teorema 13
          angoli ABB’’ = CDD’’ » perché corrispondenti di a // c » per teorema 13
          AB = CD » per ipotesi
                        » deduco che i triangoli ABB’’ = CDD’’ » per teorema 2
                        » in particolare hanno AB’’ = CD’’
                        » deduco che A’B’ = C’D’ » per la proprietà transitiva della congruenza
Scheda » concetti » rette parallele, trasversale, segmento
             » idea centrale » tracciare le rette a’’, c’’ // t
             » A.P.T.U. » teoremi 2,13,20
Teorema 22 » secondo teorema dell’angolo esterno
Dato un triangolo qualsiasi
          ciascun angolo esterno è pari alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.
          la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
Ipotesi » ACD = angolo esterno
Tesi » angoli ACD = CAB + ABC
        » ABC + BCA + CAB = 180°
Dimostrazione » traccio la retta r // AC » per postulato 5
                        » considero AC trasversale di r e AC
                        » deduco che gli angoli CAB = ACE » per teorema 14
                        » considero AB trasversale di r e AC
                        » deduco che gli angoli ABC = ECD » per teorema 13 (sono corrispondenti)
                        » deduco che ACD = ACE + ECD
                        » deduco che ACD = CAB + ABC » per assioma 1 » CVD 1
                        » deduco che ACB + ACE + ECD = 180° » per costruzione
                        » deduco che ACB + CAB + ABC = 180° » per assioma 1 » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo, angolo esterno / interno / adiacente / piatto
             » idea centrale » tracciare la retta r // AC
             » A.P.T.U. » postulato 5
                                » assioma 1
                                » teorema 13,14
 
Teorema 23 » congiungente dei punti medi di un triangolo
Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.
Teorema 24 » trapezi
In un trapezio isoscele
          gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti
          le diagonali sono congruenti
Teorema 25 » proprietà del parallelogrammo
In un parallelogrammo:
          i lati opposti sono congruenti.
          Gli angoli opposti sono congruenti.
          Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà (=si bisecano).
Ipotesi » ABCD è un parallelogrammo
Tesi » AD = BC
           AB = DC
        » ABC = CDA
           DAB = BCD
        » AO = OC
           DO = OB
Dimostrazione » traccio le diagonali e deduco che AB = CD e che BC = DA
                           » per teorema 20 » CDV 1
                        » deduco che gli angoli ABC = ADC » perché corrispondenti dei triangoli
                           Congruenti ABC e ACD » CVD 2
                        » deduco che gli angoli DAB = BCD » per assioma 2 (somma di angoli = )
                        » considero i triangoli DAO e  BCO essi hanno:
          AD = BC » per teorema 20
          Angolo D = B » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)
          Angolo A = C » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)
                        » deduco che DAO = BCO » per teorema 2
                        » in particolare che AO = OC e DO = OB » CDV 3
Scheda » concetti » parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonale
             » idea centrale » confrontare i triangoli che si formano tracciando le diagonali
             » A.P.T.U. » assioma 2
                                » teorema 2,13,20
Teorema 26 » proprietà inverse del parallelogrammo (inverso del teorema 25)
Un quadrilatero è un parallelogrammo se è verificata anche una sola delle seguenti condizioni:
          i lati opposti sono congruenti
          gli angoli opposti sono congruenti
          le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.
CONDIZIONE 1
Ipotesi » BC = AD
            » CD = AB
Tesi » BC // AD
           CD // AB
Dimostrazione » traccio la diagonale BD
                        » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:
          BD in comune
          BC = AD » per ipotesi 1
          CD = AD » per ipotesi 2
                        » deduco che BCD = ABD » per teorema 6
                        » in particolare gli angoli BDA = DBC
                        » deduco che BC // AD e CD // AB » per teorema 14
CONDIZIONE 2
Ipotesi » angoli A = C
            » angoli B = D
Tesi » AD // BC
           AB // CD
Dimostrazione » deduco che la somma degli angoli interni del quadrilatero è due angoli piatti
                            » per teorema 22 (il quadrilatero infatti si può dividere in due triangoli)
                        » deduco che A + B + C + D = 2A + 2B = 360°
                        » è possibile per ipotesi 1,2
                        » deduco che A + B = 180°
                        » deduco che AD // BC » per teorema 13
                        » analogamente anche AB // CD
CONDIZIONE 3
Ipotesi » AO = OC
            » BO = OD
Tesi » AD // BC
           AB // CD
Dimostrazione » considero i triangoli AOB e COD essi hanno:
          AO = OC » per ipotesi
          BO = OD » per ipotesi
          Angoli COB = DOA » per teorema degli angoli opposti al vertice
                        » deduco che AOB = COD » per teorema 1
                        » in particolare AB = DC e AD = BC
                        » deduco che AD // BC e AB // CD » per condizione 1
Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonali
             » idea centrale » condizione 1,2 » tracciare le diagonali
                                     » condizione 3 » considerare i triangoli AOD e  COB
             » A.P.T.U. » teorema 1,6,13,14
   
Teorema  27 » lati opposti del parallelogrammo (inverso del teorema 20)
un quadrilatero è un parallelogrammo se ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.
Ipotesi » AB = CD
            » AB // CD
Tesi » AD // CD
Dimostrazione » traccio la diagonale BD
                        » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:
          AB = CD » per ipotesi
          BD in comune
          Angoli ABD = BDC  » per teorema 13 + ipotesi
                        » deduco che BCD = ABD » per teorema 1
                        » in particolare gli angoli ADB = DBC
                        » deduco che AD // CD » per teorema 14 » CDV
Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati opposti, parallelismo
             » idea centrale » traccio la diagonale BD
             » A.P.T.U. » teorema 1,13,14
Teorema 28 » intersezione di mediane
Il punto d’intersezione di due mediane di un triangolo le divide in due parti tali che quella uscente dal vertice è il doppio dell’altra
Ipotesi » AP = PC
            » AM = MB
Tesi » BK = 2KP
        » CK = 2 KM
Dimostrazione » traccio un segmento MP
Scheda » concetti »
             » idea centrale »
             » A.P.T.U. »
.
Teorema 29 » baricentro unico
Le mediane di un triangolo passano tutte per uno stesso punto.
Ipotesi » AM = MB
            » BN = NC
            » CP = PA
Tesi » MC  BP  AN = K
Dimostrazione » considero K il punto d’intersezione delle mediane BP MC
                        » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » la mediana AN non passa per K
                        » deduco che AN si interseca con BC in N’ ≠ N
                        » deduco che » KP = BP/3 » per teorema 28
                                              » N’P = BP/3 » per teorema 28
                        » deduco che KP = N’P
                        » contraddizione della tesi perché N’≠ K
                        » deduco che AN passa per K » CVD
Scheda » concetti » mediana, triangolo, punto
             » idea centrale » metodo per assurdo
             » A.P.T.U. » teorema 28
Teorema 30 » diagonali del rettangolo
Le diagonali di un rettangolo sono tutte congruenti.
Ipotesi » ABCD rettangolo
Tesi » AC = BD
Dimostrazione » traccio le diagonali AC e BD
                        » considero i triangoli ABC e BCD essi hanno:
          AB = DC » per ipotesi
          BC in comune
          Gli angoli ABC = BCD » per postulato 4
                        » deduco che ABC = BCD » per teorema 1
                        » in particolare AC = BD » CVD
Scheda » concetti » diagonale, rettangolo
             » idea centrale » tracciare le diagonali
             » A.P.T.U. » postulato 4
                                » teorema 1
Teorema 31 » diagonali del rombo 1
Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.
Ipotesi » AB = BC = CD = DA
            » AB // BC // CD // DA
Tesi » angolo AOD = 90 °
Dimostrazione » traccio le diagonale del rombo e considero O punto d’intersezione tra di esse
                        » considero il triangolo ACD
                        » deduco che AD = DC » il triangolo è isoscele » per ipotesi 1
                        » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25
                        » deduco che DO è la mediana relativa alla base AC
                        » deduco che gli angoli AOD e COD = 90° » per teorema 4 » CVD
Scheda » concetti » rombo, angolo retto, perpendicolarità, diagonale
             » idea centrale » tracciare le diagonali del rombo
             » A.P.T.U. » teorema 4,25
Teorema 32 » diagonali del rombo 2
Le diagonali di un rombo sono bisettrici degli angoli.
Ipotesi » ABCD rombo
Tesi » angoli ADO = CDO
                      DCO = BCO
                      CBO = ABO
                      BAO = DAO
Dimostrazione » traccio le diagonali del rombo AC e BD
                        » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25
                        » deduco che DO è mediana di AC e bisettrice dell’angolo ADC del triangolo CDA
                           » per teorema 4
                        » deduco che gli angoli ADO = CDO » CVD
                        » dimostro analogamente anche per gli altri angoli
Scheda » concetti » rombo, diagonale, bisettrice, angolo
             » idea centrale » tracciare le diagonali
             » A.P.T.U. » teorema 4,25