Assiomi, Teoremi e Postulati di Geometria

ASSIOMI

Assioma 1 » cose uguali ad una stessa sono uguali.
Assioma 2 » uguali aggiunti ad uguali sono uguali.
Assioma 3 » uguali sottratti ad uguali sono uguali.
Assioma 4 » cose che coincidono tra loro sono uguali.
Assioma 5 » il tutto è maggiore di ogni sua parte.
POSTULATI
Postulato 1 » da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.
Postulato 2 » ogni retta terminata si può prolungare continuamente per diritto.
Postulato 3 » con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un centro.
Postulato 4 » tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
Postulato 5 » se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli alterni da una stessa parte
                       Minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte
                       In cui sono i due angoli minori di due retti.
TEOREMI DI GEOMETRIA
Teorema 1 » primo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno un angolo e i lati che lo formano in comune sono congruenti.
Ipotesi » A = A’
            » AB = A’B’
            » AC = A’C’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » immagino di sovrapporre l’angolo A’ ad A con un movimento rigido in modo che
                            Vertici e lati AB e A’B’ coincidano.
                        » deduco che AB = A’B’ » per ipotesi 1
                        » deduco che AC = A’C’ e che C = C’ » per ipotesi 2,3
                        » deduco che i due triangoli hanno i vertici coincidenti
                        » possibile per assioma 4
Scheda » concetti » triangolo, angolo, lato
             » idea centrale » sovrapporre i triangoli mediante un movimento rigido
             » A.P.T.U. » assioma 4
                       
Teorema 2 » secondo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli e il loro lato comune congruente allora sono congruenti.
Ipotesi » angoli B = B’
            » angoli C = C’
            » BC = B’C’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » immagino di sovrapporre mediante movimento rigido i lati A’B’ con AB
                        » Ã¨ possibile per ipotesi 3
                        » osservo che le semirette A’B’ e C’A’ si sovrappongono rispettivamente
                           Ad AB e CA
                        » Ã¨ possibile per l’ipotesi 1,2
                        » deduco che C’ = C quindi i triangoli sono completamente corrispondenti
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo
             » idea centrale » sovrapporre i due lati con il movimento rigido
             » A.P.T.U. » nessuno
Teorema 3 » angoli alla base del triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti.
Ipotesi » AB = CA
Tesi » angoli ABC = BCA
Dimostrazione » traccio la bisettrice dell’angolo A che incontra BC nel punto H
                        » considero i triangoli BHA e HCA essi hanno:
          AH in comune
          AB = CA per ipotesi
          Angoli CAH = HAB per costruzione
                        » deduco che BHA =HCA » per teorema 1
                        » in particolare gli angoli ABC = BCA » CVD
Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo
             » idea centrale » tracciare la bisettrice dell’angolo al vertice
             » A.P.T.U. » teorema 1
Teorema 4 » proprietà del triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana
relativa alla base.
Ipotesi » AC = BC
            » angoli ACH = HBA
Tesi » CH AB
        » AH = HB
Dimostrazione » considero i triangoli AHC e HBC essi hanno:
          CH in comune
          AC = BC per ipotesi
          Angoli ACH = HBA per ipotesi
                        » deduco che AHC = HBC » per teorema 1
                        » in particolare AH = HB » CVD 1
                        » deduco che gli angoli AHC e BHC sono retti perché adiacenti e congruenti » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo isoscele, bisettrice, altezza, mediana, angolo, base
             » idea centrale » considerare i due triangoli che si formano tracciando l’altezza
             » A.P.T.U. » teorema 1
Teorema 5 » triangolo con due angoli uguali (inverso del teorema 3)
Un triangolo avente due angoli uguali è isoscele ed ha uguali i due lati opposti ai due angoli uguali.
Ipotesi » angoli ABC = BCA
Tesi » AB = CA
Dimostrazione » traccio le bisettrici BP e QC degli angoli congruenti
                        Â» considero i triangoli BPC e CQB essi hanno:
          BC in comune
          Angoli BCP = CBQ per ipotesi
          Angoli PBC = QCB perché metà di angoli uguali
                        » deduco che BPC = CQB » per teorema 2
                        » in particolare BP = CQ e angoli CPQ = BQC
                        » considero i triangoli BPA e CQA essi hanno:
          BP = CQ per dimostrazione precedente
          Angoli PBA = QCA perché supplementari di angoli uguali
          Angolo A in comune
                        » deduco che BPA = CQA » per teorema 2
                        » in particolare AB = CA » CVD
Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo, lato
             » idea centrale » tracciare le bisettrici degli angoli congrienti
             » A.P.T.U. » teorema 2
Teorema 6 » terzo criterio di uguaglianza dei triangoli
Due triangoli aventi i lati rispettivamente congruenti sono congruenti.
Ipotesi » AB = A’B’
            » BC = B’C’
            Â» CA = C’A’
Tesi » ABC = A’B’C’
Dimostrazione » sposto attraverso il ribaltamento il secondo triangolo nel semipiano delimitato
                           dalla retta AB non contenente C in modo che A’B’ coincida con AB
          triangolo acutangolo » CC’ interseca AB in D interno ad AB
          triangolo ottusangolo » CC’ interseca AB in D esterno ad AB
          triangolo rettangolo » CC’ interseca AB in B, uno degli angoli interni del triangolo
                        » congiungo i punti C con C’
          triangolo acutangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli
      » angoli ACB = A’C’B’ perché somme di angoli uguali » per assioma 2
      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1
          triangolo ottusangolo » si hanno i triangoli CAC’ e CBC’ isosceli
      » angoli ACB = A’C’B’ perché differenza di angoli uguali » per assioma 3
      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 1
          triangolo rettangolo » si hanno i triangoli ABC e ABC’ essi hanno
      » AB in comune
      » due angoli del lato in comune congruenti per costruzione
      » deduco che ABC = A’B’C’ » per teorema 2
Scheda » concetti »
             » idea centrale »
             » A.P.T.U. »
Teorema 7 » primo teorema dell’angolo esterno
In un triangolo l’angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente.
Ipotesi » ACD è un angolo esterno
Tesi » ACD > A
        » ACD > B
Dimostrazione » traccio la mediana BM e un segmento MN = BM poi congiungo N a D
                        » considero i triangoli AMB e ACN essi hanno:
          BM = MN per costruzione
          AM = MC per costruzione
          Angoli AMB = NMC per il teorema degli angoli opposti al vertice
                        » deduco che AMB = ACN » per teorema 1
                        » in particolare gli angoli BAM = MCN
                        » deduco che ACD > A perché è una sua parte » CVD 1
                        » con procedimento analogo dimostro che ACD > B » CVD 2
Scheda » concetti » triangolo, angolo interno / esterno / adiacente
             » idea centrale » tracciare la mediana, il segmento MN e congiungerlo con D
             » A.P.T.U.» teorema 1
 
Teorema 8 » lato maggiore
In un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa.
IMPLICAZIONE DIRETTA Â» se AC > BC allora esiste un punto D su AC tale che AD = AB
Ipotesi » AC > BC
Tesi » angoli ABC > BAD
Dimostrazione » deduco che ABC > ABD perché BD è un raggio dell’angolo ABC
                        » ABD = ADB » per teorema 3 riferito al triangolo ABD
                        Â» ADB > BAD » per teorema 7 riferito al triangolo DBC
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza
             » A.P.T.U. » teorema 3,7
IMPLICAZIONE INVERSA Â» osservo che AC non può essere né congruente né minore di CB
Ipotesi » angoli ABC > BAD
Tesi » AC > BC
Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi
          se fosse AC = BC » triangolo dovrebbe essere isoscele » angoli ABC = BAD » per teorema 5
          se fosse AC < BC » ABC < BAD per implicazione diretta » negazione ipotesi
                        » deduco che AC > BC per ipotesi 1
Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza
             » idea centrale » metodo per assurdo
             » A.P.T.U. » teorema 5
Teorema 9 » disuguaglianza dei triangoli
In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
Teorema 10 » lato differente da altri due
In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due
Teorema 11 » unicità perpendicolare
Se due triangoli hanno una coppia di lati a due a due congruenti e gli angoli compresi disuguali, tra i lati opposti a questi vi è una disuguaglianza nello stesso verso.
Teorema 12 » rette perpendicolari ad una trasversale
Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.
Esercizio non sviluppato. Svolgilo tu!
Ipotesi »
            »
Tesi »
Dimostrazione »
                        »
                        »
                        »
Scheda » concetti »
             » idea centrale »
             » A.P.T.U. »
Teorema 13 » rette perpendicolari
Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni congruenti allora
          le coppie di angoli alterni esterni sono congruenti
          le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti
          le coppie di angoli coniugati sono supplementari
Ipotesi » 4 = 6
Tesi » 1 = 7 ; 2 = 8
        » 1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8
        » 1 + 8 ; 2 + 7 ; 3 + 6 ; 4 + 5 = 180°
Dimostrazione » osservo che 2 è opposto al vertice rispetto a 4
                        » osservo che 8 è opposto al vertice rispetto a 6
                        Â» deduco che 2 = 4 e 8 = 6 » per teorema degli angoli opposti al vertice
                        » deduco che 2 = 8 » per ipotesi + assioma 4 Â» CVD 1
                        » osservo che 3 è adiacente a 4 e che 7 è adiacente a 6
                        Â» deduco che 3 = 7 » per assioma 3 Â» CVD 2
                        » considero 4 e 5:
          4 = 6 per ipotesi
          5 è supplementare di 6 in quanto adiacente
                        » deduco che 5 + 6 = 180° » 6 = 4 » 5 + 4 = 180° » per assioma 2 Â» CVD 3
Scheda » concetti » retta, trasversale, angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati, corrispondenti
             » idea centrale » considerare 2 e 8
             » A.P.T.U. » assioma 2,3,4
Teorema 14 » teorema diretto sulle parallele
Rette che individuano con una trasversale coppie di angoli alterni congruenti sono parallele.
Ipotesi » 1 = 2
Tesi » a // b
Dimostrazione »