ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO


  -   2002

CORSO DI ORDINAMENTO
Tema di: MATEMATICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

PROBLEMA 1

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione y = f(x), dove è:
 


 

a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano y<0.
 

b) Trovare l’equazione della parabola passante per l’origine O degli assi e avente l’asse di simmetria parallelo all’asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa -1 (N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari).
 

c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa -1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza.
 

d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all’asse x.
 

e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all’intervallo .

 

PROBLEMA 2

 

Si considerino le lunghezze seguenti:
 

[1]         ,          ,          ,

 

dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita.

 

a) Determinare per quali valori di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere.
 

b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima.
 

c) Verificato che per le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo.
 

d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due piani DBC e ABC.
 

QUESTIONARIO

 

1. Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.
 

 

2. Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali e e volumi e . Si sa che . Calcolare il valore del rapporto
 

3. Considerati i numeri reali a, b, c, d – comunque scelti – se a>b e c>d allora:
 

A) a+d > b+c;
B) a-d > b-c;
C) ad > bc;
D)
 

Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.

 

1. Si consideri la seguente proposizione: “La media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica”. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.
 

 

2. Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione:
 


 

sia un’identità.
 

 

3. Si consideri la funzione:
 


 

 

Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo .
 

 

4. Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f(x) tale che:
 

f(x) = , con x > 0.

 

5. La funzione reale di variabile reale è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1,3] e derivabile nell’intervallo aperto (1,3). Si sa che e inoltre per ogni x dell’intervallo (1,3). Spiegare in maniera esauriente perché risulta .
 

 

6. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:
 


 

Tale luogo è costituito da:
 

A) un punto;
B) due punti;
C) infiniti punti;
D) nessun punto.
 

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

 

1. La funzione reale di variabile reale f(x), continua per ogni x, è tale che:
 

= a , = b ,
 

dove a, b sono numeri reali.
 

Determinare, se esistono, i valori a, b per cui risulta:

 

= ln 2 e =ln 4 .
 

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