Problemi sulla similitudine

 

1)      Un triangolo ABC rettangolo in B ha i cateti AB e BC che misurano rispettivamente ¾ l ed l. Per un punto D dell ipotenusa traccia le parallele ai cateti. Determina la posizione del punto D su AC in modo che il perimetro del rettangolo così ottenuto sia 11/6 l.

 

A

H              D                                AB = ¾ l

                             BC = l

                                                         2p (BKDH) =  11/6 l

      B                                   C

                      K

 

AC = 5/4 l

AD = x       0< x <5/4 l

 

AHD simile ABC        AD : HD = CA : CB        HD = 4/5 x

AH D simile ABC        AD :A H = CA : AB      AH = 3/5  x

HB = 3/4l – 3/5 x

 

2 ( 4/5 x +3/4 l –3/5 x) = 11/6 l

 

x =5/6 l

 

 

 

 

2)      Nel triangolo ABC il 2p è cm 62, il lato AB è 3/5 del lato BC il quale supera di cm 2 i 3/5 del lato AC. Dal punto M di AB tale che AM = 4 cm si conduca la corda MN parallela al lato AC. Determinare la lunghezza di MN.

 

 

C

                                                    2p = 62 cm

                                                          AB = 3/5 BC

                    N                                  BC =3/5 AC + 2 cm

                                                          AM = 4 cm

                                                          MN ?

 

  
 
 

 

 

 


 

A         M          B

 

 

 

AC = x       BC = 3/5 x +2         AB = 3/5 (3/5 x + 2)

 

x + 3/5 x  + 2 + 3/5 (3/5 x + 2) = 62

49/25 x = 294/5

x = 30

AC = 30 cm        BC = 20 cm       AB = 12 cm

ABC  simile NMB        MB : AB = NM : AC        NM = 20 cm

3)      Le basi di un trapezio sono lunghe 10 m e 15 m e gli altri due lati 7 m e 9 m; calcolare le misure dei lati dei triangoli che si ottengono prolungando i lati non paralleli del trapezio.

                               E

 

D                                                     AB = 15 m

                                C                                 DC = 10 m

                                                                    AD = 9 m

                                                                        BC = 7 m

    A                                       B

 

 

 

ABE  simile DEC     AB : DC = AE : DE      

                             DE = x           AE = AD + DE

                              15 : 10 = ( 9 + x ) : x

                             10 * 9 + 10 * x = 15 *x

                                x = 18

 

                          AB : DC = BE : EC

                          EC = x           BE = CB + EC

                          15 : 10 = ( 7 + x ) : x

                            x = 14

 

Lati del triangolo DEC  :  DC = 10 m,   DE = 18 m,  EC = 14 m.

Lati del triangolo ABE :    AB =15m,    AE = 27 m,  EB = 21 m.

 

 

4)  Le aree di due poligoni simili stanno tra loro come 16 : 9 e il perimetro del poligono minore è lungo 120 cm; trovare il 2p dell altro poligono.

 

S = superficie poligono maggiore

S  = superficie poligono minore

2p = perimetro poligono maggiore

2p  = perimetro poligono minore

 

S : S = 16 : 9

2p : 2p = 4: 3

2p = 160 cm

 

 

5)      Un triangolo ha il lato AB che misura 22a, langolo ABC di 60° e langolo ACB di 45°. Si vuole inscrivere in esso un quadrato con un lato sul segmento BC. Quanto misura il lato di tale quadrato?

 

           A                            ABC = 60°

     G        F                       ACB = 45°

                                    AB = 22a

BD    E   C                  DE = ?

 

 

BD = x                       BG = 2x                                   DG = x

BH = 11a            AH = 11a          HC = 11a

BC = 11a + 11a    BC = 11a ( 1+ )

DE = BC – (BD + EC )

DE = 11a ( 1 + )- ( 1 + ) x

DE = ( 1+ ) (11a – x )

 

Affinché  DEFG sia un quadrato deve sussistere la relazione    DE = GD

 

x = 11a ( 1 + ) – (1 +  ) x

 

( 2 + 1 ) x = 11a ( 1+ )

 

x = a (5 + )

 

DE = (5+ 3) a

 

 

 

6)      Un triangolo ha l’area di 3956 a e la base di 92 a. Trovare le dimensioni di un rettangolo inscritto nel triangolo dato ed avente un lato sulla base, in modo che la sua area sia 1978 a.

  

                       C

AB = 92 a

S = 3956 a

 

S = 1978 a

   A           D       H          E           B

 

 

 

CH = 2* 3956 a / 96 a                            CH = 86 a

 

GD = x                          

 

DE = 1978 a /x

 

Nei triangoli simili ABC  e CGF si ha:    AB : CH = GF : CK

 

 92 a : 86 a =  (1978 a /x ) : ( 86 a – x )

 

23 x– 1978 ax + 42527 a= 0

 

x  = 43 a

GD = 43 a        DE = 46 a

 

 

 

7)      Nel triangolo rettangolo ABC il cateto AC è doppio del cateto AB = a. Preso un punto P sul cateto AB, si determini la distanza PB in modo che sia verificata la relazione

       AP+ PH = 21/20 PB  dove H è la proiezione ortogonale di P su BC.

 

        B        H

H

 

P

 

        A                                   C

 

 

AB =  a                            AC = 2 a                                 BC =  a

 

PB = x        0 < x < a

AP = a – x

 

Nei triangoli simili ABC  e PBH   si ha      PB : BC = PH : AC

 

     X  : a =  PH : 2 a

 

PH = 2/5

 

( a – x )+ 4/5 x= 21/20 x

 

x = 2/3 a             x = 2a    non accettabile

 

PB = 2/3  a