Problemi sulla similitudine

1)  Un triangolo ABC rettangolo in B ha i cateti AB e BC che misurano rispettivamente ¾ l ed l. Per un punto D dell ipotenusa traccia le parallele ai cateti. Determina la posizione del punto D su AC in modo che il perimetro del rettangolo così ottenuto sia 11/6 l.

A

H  D  AB = ¾ l

  BC = l

   2p (BKDH) = 11/6 l

  B   C

  K

AC = 5/4 l

AD = x  0< x <5/4 l

AHD simile ABC  AD : HD = CA : CB  HD = 4/5 x

AH D simile ABC  AD :A H = CA : AB  AH = 3/5 x

HB = 3/4l – 3/5 x

2 ( 4/5 x +3/4 l -3/5 x) = 11/6 l

x =5/6 l

2)  Nel triangolo ABC il 2p è cm 62, il lato AB è 3/5 del lato BC il quale supera di cm 2 i 3/5 del lato AC. Dal punto M di AB tale che AM = 4 cm si conduca la corda MN parallela al lato AC. Determinare la lunghezza di MN.

C

   2p = 62 cm

   AB = 3/5 BC

  N   BC =3/5 AC + 2 cm

   AM = 4 cm

   MN ?

A  M  B

AC = x  BC = 3/5 x +2  AB = 3/5 (3/5 x + 2)

x + 3/5 x + 2 + 3/5 (3/5 x + 2) = 62

49/25 x = 294/5

x = 30

AC = 30 cm  BC = 20 cm  AB = 12 cm

ABC simile NMB  MB : AB = NM : AC  NM = 20 cm

3)  Le basi di un trapezio sono lunghe 10 m e 15 m e gli altri due lati 7 m e 9 m; calcolare le misure dei lati dei triangoli che si ottengono prolungando i lati non paralleli del trapezio.

  E

D   AB = 15 m

  C   DC = 10 m

    AD = 9 m

    BC = 7 m

  A   B

ABE simile DEC  AB : DC = AE : DE 

  DE = x  AE = AD + DE

  15 : 10 = ( 9 + x ) : x

  10 * 9 + 10 * x = 15 *x

  x = 18

  AB : DC = BE : EC

  EC = x  BE = CB + EC

  15 : 10 = ( 7 + x ) : x

  x = 14

Lati del triangolo DEC : DC = 10 m,  DE = 18 m, EC = 14 m.

Lati del triangolo ABE :  AB =15m,  AE = 27 m, EB = 21 m.

4) Le aree di due poligoni simili stanno tra loro come 16 : 9 e il perimetro del poligono minore è lungo 120 cm; trovare il 2p dell altro poligono.

S = superficie poligono maggiore

S = superficie poligono minore

2p = perimetro poligono maggiore

2p = perimetro poligono minore

S : S = 16 : 9

2p : 2p = 4: 3

2p = 160 cm

5)  Un triangolo ha il lato AB che misura 22a, l’angolo ABC di 60° e l’angolo ACB di 45°. Si vuole inscrivere in esso un quadrato con un lato sul segmento BC. Quanto misura il lato di tale quadrato?

  A  ABC = 60°

  G  F  ACB = 45°

   AB = 22a

BD  E  C  DE = ?

BD = x  BG = 2x   DG = x

BH = 11a  AH = 11a  HC = 11a

BC = 11a + 11a  BC = 11a ( 1+ )

DE = BC – (BD + EC )

DE = 11a ( 1 + )- ( 1 + ) x

DE = ( 1+ ) (11a – x )

Affinché DEFG sia un quadrato deve sussistere la relazione  DE = GD

x = 11a ( 1 + ) – (1 + ) x

( 2 + 1 ) x = 11a ( 1+ )

x = a (5 + )

DE = (5+ 3) a

6)  Un triangolo ha l’area di 3956 a e la base di 92 a. Trovare le dimensioni di un rettangolo inscritto nel triangolo dato ed avente un lato sulla base, in modo che la sua area sia 1978 a.

 

  C

AB = 92 a

S = 3956 a

S = 1978 a

  A  D  H  E  B

CH = 2* 3956 a / 96 a  CH = 86 a

GD = x 

DE = 1978 a /x

Nei triangoli simili ABC e CGF si ha:  AB : CH = GF : CK

92 a : 86 a = (1978 a /x ) : ( 86 a – x )

23 x– 1978 ax + 42527 a= 0

x = 43 a

GD = 43 a  DE = 46 a

7)  Nel triangolo rettangolo ABC il cateto AC è doppio del cateto AB = a. Preso un punto P sul cateto AB, si determini la distanza PB in modo che sia verificata la relazione

  AP+ PH = 21/20 PB dove H è la proiezione ortogonale di P su BC.

  B  H

H

P

  A    C

AB = a  AC = 2 a   BC = a

PB = x  0 < x < a

AP = a – x

Nei triangoli simili ABC e PBH  si ha  PB : BC = PH : AC

  X : a = PH : 2 a

PH = 2/5

( a – x )+ 4/5 x= 21/20 x

x = 2/3 a  x = 2a  non accettabile

PB = 2/3 a