Programma matematica

classe quinta

Obiettivi

-Conoscenza teorica degli argomenti.

-Uso corretto dei simboli matematici

-Utilizzare un linguaggio specifico corretto

-Essere in grado di eseguire uno studio completo di funzione.

-Saper applicare il calcolo integrale.

-Essere in grado di applicare il calcolo differenziale e integrale alla fisica.

-Saper applicare gli strumenti matematici offerti dall’analisi nell’impostazione nella risoluzione di problemi geometrici di diverso tipo. 

Contenuti

Capitolo1-Funzioni reali di una variabile reale

  Funzioni elementari: Le funzioni razionali, irrazionali, goniometriche, logaritmiche,

  esponenziali, funzione segno, valore assoluto e parte intera di x.

  La funzione y =f(x) : La funzione inversa,la funzione inversa delle funzioni circolari.

  Funzioni composte.

Capitolo2-Limiti di una funzione

Limite infinito : asintoto verticale

Limite finito di una funzione all’infinito: asintoto orizzontale

Limite infinito di una funzione all’infinito

Limite sinistro limite destro:limiti fondamentali

Teoremi sui limiti

Operazioni sui limiti:limiti finiti, Limiti infiniti e forme indeterminate

Limite all’infinito di un polinomio

Limiti all’infinito delle funzioni razionali

Grafici di semplici funzioni composte:Grafico di,Grafico1/ f(x), Grafico

Grafico logf(x).

Capitolo3-Funzioni continue

  Definizione di funzione continua , continuità a destra e a sinistra

Alcune funzioni continue

Punti di discontinuità:Discontinuità di prima, seconda e terza specie

Limiti notevoli

Continuità delle funzioni inverse

Teoremi fondamentali delle funzioni continue

Infinitesimi e infiniti: confronto tra infinitesimi e infiniti

Esempi di limiti particolari

  Asintoti : asintoto verticale, orizzontale e obliquo

Capitolo5- Teoria sulle derivate

Definizione di derivata e suo significato geometrico:significato geometrico di rapporto incrementale,significato geometrico di derivata. Derivata destra e derivata sinistra.

Continuità delle funzioni derivabili

Derivata di alcune funzioni elementari:derivata della funzione costante,identica, senx, cosx, logaritmica, esponenziale.

Regole di derivazione: derivata della somma ,del prodotto, del reciproco, del quoziente

Derivata della funzione composta:derivata delle funzioni pari e dispari.

Derivata delle funzioni inverse:derivata delle funzioni inverse delle funzioni circolari

Funzioni derivata prima e derivate successive.

Differenziale di una funzione: significato geometrico del differenziale.

Significato fisico della derivata:velocità e accelerazione in un moto rettilineo.

Capitolo6-Teoremi fondamentali del calcolo differenziale

Massimi e minimi: significato geometrico del teorema 1.

Teoremi di Rolle,di Cauchy,di Lagrange (senza dimostrazione):Significato geometrico del teorema di Rolle.Unapplicazione del teorema di Rolle.Significato geometrico del teorema di Lagrange.Funzioni crescenti

Forme indeterminate.Teorema de LHôpital:Forma indeterminata 0/0.Forma indeterminata¥/¥.

Limiti notevoli.

Punti a tangenza orizzontale.Osservazioni sui massimi e minimi locali. Concavità e convessità,flessi.

Studio dei punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi,flessi a tangente verticale.

Capitolo7-Grafici di funzioni.

Studio grafico di una funzione:polinomi, funzini razionali,funzioni algebriche irrazionali,funzioni goniometriche,funzioni esponenziali ,funzioni logaritmiche.

Discussone grafica di una equazione.Numero delle radici reali di una equazione.Studio di una funzione in forma parametrica.

Capitolo8-Massimi e minimi assoluti

Massimi e minimi assoluti.Problemi di massimo e minimo.

Capitolo10-Lintegrale indefinito

Funzioni primitive di una funzione data:significato geometrico dellintegrale indefinito,proprietà dellintegrale indefinito.

Integrali indefiniti immediati,integrazione delle funzioni razionali,integrazione per sostituzione,integrazione per parti.

Capitolo11-Lintegrale definito

Area del trapezoide:somme integrali per eccesso e per difetto.

Il caso del trapezoide,il caso della parabola,il caso dellesponenziale.

Integrale definito:approssimazione di un integrale indefinito,significato geomertrico.

Il teorema della media:significato geometrico.

La funzione integrale:il teorema di Torricelli-Barrow.

Integrazione per sostituzione.

Calcolo di aree di domini piani.

Volume dei solidi di rotazione.

Significato fisico dellintegrale definito.

Integrali impropri.