RAPPRESENTAZIONI DI INSIEMI

Gli insiemi si indicano, di solito, con lettere maiuscole, mentre i loro elementi, se non ulteriormente specificati, con le lettere minuscole:

   A, B, C, ..  indicano insiemi

   a, b, c,   indicano elementi.

Per indicare se un elemento appartiene o no ad un insieme si usano i simboli É e Á, detti rispettivamente simbolo di appartenenza e simbolo di non appartenenza. Ad esempio, indicando con E l’insieme delle capitali europee, scriveremo:

   Parigi  É  E

   Sidney  Á  E

Tre sono le modalità più frequentemente usate per rappresentare un insieme:

• rappresentazione estensiva
• rappresentazione intensiva
• rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn.

La rappresentazione estensiva consiste nellindicare dentro una coppia di parentesi graffe gli elementi dell’insieme. Ad esempio, se A rappresenta l’insieme delle vocali dell’alfabeto, B l’insieme dei numeri naturali minori di 5 e C l’insieme delle coniche, la rappresentazione estensiva dei tre insiemi sarà:

   A = 1 {a, e, i, o,u}

   B = {0, 1, 2, 3, 4}

   C = {ellisse, iperbole, parabola}

 Una tale rappresentazione diventa difficoltosa per insiemi contenenti un gran numero di elementi; in questo caso, però, si possono mettere dei puntini per indicare alcuni elementi. Ad esempio, l’insieme D dei numeri interi relativi compresi tra -100 e +100 si può rappresentare così:

   D = {-100, -99, -98,.,+98, +99, +100}

Un tal modo di rappresentare un insieme perde comunque di precisione, anche se nel caso di D non sembrano esserci ambiguità di interpretazione. Se, però, gli elementi dell’insieme sono in numero infinito, allora la mancanza di precisione diventa imbarazzante. Quali sono gli elementi di P?

   P = {1, 2, 4,..}

Per ovviare ai problemi di cui sopra, si può utilizzare la rappresentazione estensiva, consiste nellindicare, dentro la coppia di parentesi, una o più proprietà caratteristiche di cui godono gli elementi che formano l’insieme. Precisando che, in Matematica, esistono degli insiemi per così dire, predefiniti”, come per esempio N, che è l’insieme di tutti i numeri naturali, oppure Z, che indica l’insieme di tutti i numeri interi relativi, le rappresentazioni  intensive di A, B, C, D sarebbero le seguenti:

   A = {x | x è una vocale dell’alfabeto italiano}

   B = {x | x É N e x<5}

   C = {x | x è una conica del piano}

   D = {x | x É Z e -100 £ x £ +100}

La rappresentazione si legge in questo modo: C è l’insieme degli elementi x tale che x è una conica. La lettera x, quindi, funziona proprio da variabile, e varia assumendo i valori” riportati dopo il simbolo | “, simbolo logico che si legge appunto tale che.

Per finire, la rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn, che dora in poi chiameremo semplicemente diagrammi, che è usata soprattutto per illustrare le relazioni e le operazioni fra essi, consiste nel riportare dentro una figura, di solito un ovale o un cerchio, gli elementi dell’insieme, come riportato sotto:

   A   B   C 

Vediamo di seguito altri esempi di insiemi importanti da un punto di vista matematico:

   P  = {x | x = 2n e n É N}

   N0 = {x | x É N e x ¹ 0}

   Z+  = {x | x É Z e x ³ 0}

   Q  = {x | x = a/b e (a,b) É Z}

P è l’insieme dei numeri naturali pari (per ottenere l’insieme dei dispari basta cambiare 2n in 2n+1); N0 è l’insieme dei naturali non nulli;

Z+  è l’insieme degli interi non negativi;

Q è l’insieme dei numeri razionali relativi.

La scrittura  x = 2n e n É N significa che, mentre la lettera n assume tutti i valori naturali, la lettera x, che descrive gli elementi dell’insieme P, assume tutti i valori pari. La lettera n funziona, insomma, da contatore”. La seguente tabella illustra in modo adeguato la situazione, in essa, inoltre, sono presenti altre situazioni del genere. Si vede che nella terza riga della tabella sono elencati i numeri dispari, nella quarta riga tutti i quadrati perfetti e nell’ultima tutte le potenze di due.  

Il fatto che i valori che assume x dipendano dai valori che assume n si esprime, con un linguaggio matematico appropriate, dicendo che x è funzione2  di n

Insiemi particolari

Gli insiemi particolari sono sostanzialmente due: linsieme vuoto e linsieme universo o ambiente. Cerchiamo di scoprirli con degli esempi, e consideriamo i seguenti insiemi:

   A = {x | x è un triangolo con cinque lati}

   B = {x | 2x = 1  e  x É N}

   C = {x | x2 = 4 e x = 2n+1, n É N}

Si vede facilmente che gli insiemi a, B e C sono privi di elementi; infatti, non esistono triangoli con cinque lati, non esistono numeri naturali che verificano lequazione 2x = 1, né numeri dispari naturali il cui quadrato sia uguale a 4.  I tre insiemi sono pertanto detti insiemi vuoti. Un insieme vuoto si indica con il simbolo fisso  í+, da non confondere con il simbolo {í+}, che invece indica un insieme costituito da un elemento.

Negli insiemi B e C osserviamo, inoltre, che la mancanza di elementi è dovuta al fatto che i valori di x sono, per così dire, vincolati ad essere valori naturali per B e naturali dispari per C. senza queste restrizioni, o con altre restrizioni, la situazione muterebbe. Basterebbe sostituire, ad esempio, N con Q in B e non mettere alcuna restrizione in C, per avere:

   B = {x | 3x = 1  e  x É Q}  =  {â…”}

   C = {x | x2 = 4 e x = 2n+1, n É N}=  {-2, +2}

Ciò che è stato fatto è quello di modificare l “ambiente” in cui sono state risolte le equazioni. I due insiemi B e C, inseriti in un contesto diverso, si sono modificati. Proprio questo significa fissare un insieme ambiente o insieme universo: un insieme di riferimento entro il quale si assume che siano valide certe situazioni, come per esempio la risoluzione di equazioni o il calcolo di certe operazioni. L’insieme universo viene di solito indicato con la lettera U, e, con i diagrammi, con un rettangolo. Se si inquadra, ad esempio, l’insieme delle vocali nell’insieme delle lettere dell’alfabeto, la situazione è la seguente:

    U

   b  c  d  f  g  h  

     A

   l  m  a  e  n  p   

   q   i  o  u  r

   s  t   v  z

Note:

1. Una conica è una curva ottenuta come intersezione tra un piano ed un cono nello spazio. Ad ogni conica resta  associata una equazione di 2° grado in due variabili.

2. Una funzione è una legge che lega due variabili chiamate variabile indipendente e variabile dipendente, in modo tale cha al variare dei valori della prima in un certo insieme, la seconda varia corrispondentemente