RELAZIONI

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I sottoinsiemi

La relazione più importante tra due insiemi è sicuramente quella di sottoinsieme. Si dice che l’insieme A è sottoinsieme dell’insieme B (o parte di B, oppure A è incluso in B) se e solo se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

Per indicare questo si utilizzano i due simboli noti appunto come simboli di inclusione:

                                                 A Í B

                                                 A Ì B

Fra i due simboli esiste ovviamente una differenza, che vedremo fra poco.

Con la rappresentazione mediante i diagrammi, la situazione sarebbe la seguente:

 

                                                               B

 

                                                               A           

                   

                    

 

 

 

Dalla definizione si evince che, qualunque sia l’insieme A:

 

                                                 Æ  Í  A

                                                 A   Í  U

                                                 A   Í  A

 

Quindi, fra i possibili sottoinsiemi di un insieme dato, vanno considerati sempre l’insieme vuoto e l’insieme stesso. Questi ultimi due sono detti sottoinsiemi impropri, per distinguerli dagli altri ordinari sottoinsiemi che vengono detti sottoinsiemi propri. Per indicare i sottoinsiemi impropri si può usare solo il simbolo Í, mentre per i sottoinsiemi propri si possono usare ambedue i simboli di inclusione. Riepilogando, la scrittura  X  Í  A  indica che X può essere sottoinsieme proprio oppure improprio di A, mentre la scrittura  X  Ì  A  indica che X è sottoinsieme proprio di A (cioè diverso da A stesso e dall’insieme vuoto.

Per quanto riguarda le relazioni intercorrenti fra gli insiemi numerici finora conosciuti, valgono le seguenti relazioni

                                                 N  Ì  Z  Ì  Q

 

ed il seguente diagramma che illustra efficacemente la situazione:

 

 

                                                            Q

  

                                                                 Z

                                                                       N    

 

 

 

 

 

Linsieme delle parti

Consideriamo adesso l’insieme   A = {a, b, c} e proviamo a costruire tutti i suoi possibili sottoinsiemi:

 

A1 = {a}                         A2 = {b}                         A3 = {c}                         A4 = {a, b}      

 

A5 = {a, c}                     A6 = {b,c}                      A7  =  Æ                          A8 = A         

 

Dato che nessuno vieta di costruire insiemi di insiemi, cioè insiemi i cui elementi sono essi stessi insiemi, costruiamo un nuovo insieme avente come elementi  proprio i sottoinsiemi trovati:

                                                ℙ(A) = {A1, A2,A3, A4, A5, A6, A7, A8} 

L insieme ℙ(A) è chiamato insieme delle parti di A, ed è l’insieme costituito, appunto, da tutti i possibili sottoinsiemi (propri ed impropri) di un insieme dato.

Da notare che, rispetto a ℙ(A), i sottoinsiemi cambiano ruolo e diventano elementi, mentre gli elementi di A non compaiono assolutamente in ℙ(A). Pertanto, mentre le scritture 

                                                    A5 Ì  A          a Î A          A5 Î ℙ(A)         

 

sono corrette, non lo sono invece le scritture

                                                 A5 Î  A          a Π ℙ(A        A5 Ì ℙ(A) 

  

Il fatto che il numero dei sottoinsiemi di A, e quindi il numero di elementi del suo insieme delle parti sia otto, non è casuale; infatti 8 = 23. Questo è generale:

dato un insieme con n  elementi il numero dei suoi sottoinsiemi è 2n .  

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