La meccanica quantistica

di Gaia Del Mauro

La meccanica quantistica ci serve per capire le proprietà microscopiche dell’universo.

Essa nacque nel 1900, con l’ipotesi dell’esistenza dei quanti avanzata da Max Planck.

I quanti di Planck

Consideriamo un forno perfettamente isolato, riscaldato ad una data temperatura. Il riscaldamento genera onde di radiazione, che sono onde elettromagnetiche, le quali trasportano energia. Alcuni scienziati si misero a calcolare l’energia totale di tutte le onde all’interno del forno, pervenendo ad un risultato insensato: indipendentemente dalla temperatura, energia totale del forno era infinita. E ovvio che ciò non ha senso.

Dalla teoria di Maxwell si deduce che le onde devono avere un numero intero di picchi e ventri per incastrarsi perfettamente fra le pareti del forno. Per di più, le onde portano tutte la stessa energia, indipendentemente dalla lunghezza d’onda. Visto che dentro il forno c’è un numero infinito di onde ammissibili, e poiché portano tutte la stessa dose di energia, la quantità totale di energia dev’essere anch’essa infinita.

Per spiegare tale paradosso, Planck avanzò l’ipotesi che l’energia trasportata da un onda elettromagnetica potesse presentarsi solo in pacchetti ben precisi, in quantità fisse.

Il contenuto energetico minimo di un’onda è proporzionale alla sua frequenza: le radiazioni ad onda lunga portano meno energia di quelle ad onda corta.

L’intuizione di Planck risolse la questione dell’energia infinita: se un’onda ha unenergia minima intrinseca più grande del valore che dovrebbe teoricamente fornire all’energia totale, rimane inerte (onde di maggiore frequenza); quindi, se solo un numero finito di onde può esser preso in considerazione, l’energia totale del sistema sarà finita. E la suddivisione in pacchetti, accompagnata al fatto che i pacchetti diventano sempre più grandi fino a superare un certo valore, che cambia un risultato infinito in uno finito.

Il fattore di proporzionalità fra la frequenza di un’onda ed il suo pacchetto minimo di energia è la costante di Planck, dal valore minuscolo. (? ? 10 -34 Js)

L’effetto fotoelettrico e la teoria corpuscolare della luce

Planck non sapeva come spiegare la sua parcellizzazione dell’energia ma, studiando il fenomeno noto come effetto fotoelettrico, Einstein introdusse i quanti di luce, o fotoni, e trovò così la chiave del mistero: la parcellizzazione dell’energia è una conseguenza del fatto che le onde sono fatte di pacchetti.

Ecco l’effetto fotoelettrico: se la radiazione elettromagnetica colpisce alcuni metalli, questi emettono elettroni. Si potrebbe pensare che al crescere dell’intensità luminosa cresca anche la velocità degli elettroni in fuga.

Questo non accade: aumenta il numero degli elettroni emessi, ma la loro velocità non cambia. La velocità aumenta invece al crescere della frequenza della radiazione.

Einstein ipotizzò che l’idea di Planck dei pacchetti” fosse applicabile anche alla luce. Secondo la sua teoria, un raggio luminoso deve essere pensato come un fascio di particelle, che furono poi battezzate fotoni.

Einstein spiegò anche il meccanismo microscopico alla base dell’effetto fotoelettrico: un elettrone fugge dalla superficie metallica se viene colpito da un fotone abbastanza carico di energia. Ma cosa determina l’energia del fotone? Einsten ipotizzò che questa fosse proporzionale alla frequenza dell’onda luminosa, con la costante di Planck come fattore di proporzionalità. L’energia rimasta all’elettrone dopo la fuga dipende esclusivamente dall’energia del fotone che li colpisce, ed è quindi determinata dalla frequenza della luce, non dalla sua intensità. Tutto ciò concorda con i dati sperimentali: la frequenza della luce (cioè il suo colore) determina la velocità degli elettroni emessi, mentre l’intensità luminosa ne regola il numero.

Dualità onda – particella

Potrebbe sembrare che Einstein abbia fatto risorgere la teoria newtoniana corpuscolare, grazie all’introduzione dei fotoni. In realtà, i corpuscoli di Einstein sono molto diversi da quelli di Newton: essi sono particelle, ma in qualche modo hanno in sé le caratteristiche ondulatorie della luce.

La luce ha proprietà sia ondulatorie sia corpuscolari: è sia onda, sia particella.

Fu De Broglie che per primo ipotizzò che il dualismo onda – particella non si dovesse applicare solo alla luce, ma anche alla materia. Dobbiamo così abbandonare il buon senso, che ci dice che un oggetto è un’onda oppure una particella.

La lunghezza d’onda di un corpuscolo materiale di massa m e velocità di modulo v è:

λ = ?/(mv).

Non ci vuole molto a verificare che se lanciamo un sasso che pesa 100 grammi a una velocità di 10 metri al secondo, il suo moto ondulatorio avrà una lunghezza d’onda pari a 6.6 x 10-34 metri, cioè miliardi di miliardi di volte più piccola delle dimensioni di un nucleo atomico. Risulterebbe quindi impossibile osservare gli effetti ondulatori di questa oscillazione: il moto ondulatorio degli oggetti della vita quotidiana è del tutto irrilevante. Se però consideriamo il moto di un elettrone, che ha massa minuscola (10-30 Kg) e orbita negli atomi ad alta velocità ( 6 x 105 m/s), troviamo che ha lunghezza d’onda pari a 10-9 m.

Ora la situazione è completamente diversa: 10-9 m equivale ad un nanometro, la lunghezza d’onda associata ai raggi X. Il moto ondulatorio di un elettrone, dunque, non può essere ignorato.

Ma di cosa sono fatte queste onde? Londa di un elettrone deve essere interpretata in termini probabilistici. La probabilità di trovare un elettrone in un certo posto dipende dall’ampiezza dell’onda associata: i punti in cui l’onda è più ampia sono quelli in cui è più probabile trovare l’elettrone, e viceversa. A livello microscopico, non possiamo fare altro che assegnare ad un elettrone una probabilità di trovarsi in un determinato punto.

Schrödinger formulò poi la funzione d’onda, che contiene tutte le informazioni circa l’evoluzione dell’onda-particella nello spazio e nel tempo, descrivendo cioè il comportamento dell’elettrone.

Il principio di indeterminazione

Il principio di indeterminazione, scoperto da Heisenberg nel 1927 costituisce il nucleo della meccanica quantistica, ed il punto centrale che differenzia la nuova fisica da quella classica.

Secondo la fisica classica, è possibile misurare una grandezza con precisione sempre maggiore.

Secondo la meccanica quantistica, invece, misurare significa sempre perturbare il sistema e quindi anche le grandezze che lo caratterizzano.

Per esempio, per misurare la posizione di un elettrone, dobbiamo fargli qualcosa, ad esempio illuminarlo, cioè colpirlo con dei fotoni. L’impatto altera però il suo moto successivo, cioè la sua velocità.

Heisenberg affermò l’impossibilità di misurare simultaneamente la posizione e la quantità di moto di un oggetto, oppure l’istante di tempo in cui un sistema si trova in un particolare stato e la corrispondente energia del sistema. La precisione con cui si misura la posizione e quella con cui si misura la velocità sono perciò inversamente proporzionali.

Il principio di indeterminazione è anche alla base del cosiddetto effetto tunnel.

Se spariamo un oggetto contro un muro di cemento, la fisica classica afferma che è impossibile che l’oggetto passi attraverso il muro. Questo perché non possiede una quantità di energia sufficiente per farlo. Secondo la meccanica quantistica, invece, questo è solo improbabile: non si può infatti affermare che una particella, in un preciso istante, ha una certa quantità di energia.

La particella può prendere in prestito dell’energia purché la restituisca entro un lasso di tempo determinato dal principio di Heisenberg.

Nella nostra esperienza quotidiana, un oggetto, una volta messo in un recipiente, non può uscirne a meno che ne scavalchi le pareti: una biglia posta in un bicchiere, per esempio, resta lì dentro finché non le imprimiamo un impulso tale da farla saltare oltre il bordo.

Se un elettrone si comportasse come una particella classica, una volta messo in un recipiente dovrebbe restarvi confinato per sempre. In realtà però gli elettroni possono mostrare un comportamento ondulatorio oltre che corpuscolare. La funzione d’onda dell’elettrone prevede che, anche se imprigionato in un contenitore, esso abbia una probabilità non nulla di attraversare le pareti del recipiente e sfuggire all’esterno.

Ciò ci appare incomprensibile perché estraneo alla nostra esperienza: se mettiamo una camicia nel cassetto, non pensiamo che essa possa uscirne.

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