Tema di: MATEMATICA

Y548 – ESAMI DI MATURITÀ MAGISTRALE SPERIMENTALE 1998

PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Il candidato risolva le seguenti questioni:

1. Di una curva continua y = f(x) si sa che:

f(-2) = 8  f'(2) = f'(-2) = 0

f(0) = 4  f'(x) < 0 per ½x½ < 2

f(2) = 0  f'(x) < 0 per x < 0

f'(x) > 0 per ½x½ > 2,  f'(x) > 0 per x > 0

Il candidato:

a) disegni il grafico di una curva siffatta;

b) trovi una espressione polinomiale di grado minimo che presenti le caratteristiche assegnate per la funzione f(x);

c) calcoli l’area della parte finita di piano, compresa fra il grafico e l’asse delle x;

d) con riferimento alla cubica y = x3 ne illustri le variazioni del grafico per l’aggiunta di un termine kx al variare di k nell’insieme dei numeri reali;

e) dimostri che ogni curva di equazione y = x3+ ax2 + bx + c ha uno ed un solo punto di flesso, rispetto a cui è simmetrica.

2. Dopo aver preso in esame i seguenti enunciati, stabilire se sono veri motivando esaurientemente la risposta:

a) se in un triangolo isoscele la base è la sezione aurea del lato, l’angolo al vertice è un quinto d’angolo piatto;

b) la somma delle facce di un angoloide è minore o uguale ad un angolo giro;

c) perché due numeri a, b (a ³ b) divisi per un terzo numero k diano resti uguali, è necessario e sufficiente che la loro differenza sia divisibile per k.

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Durata massima della prova: 4 ore.

E consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.