ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO


   –   2003

CORSO SPERIMENTALE – P.N.I.

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

 

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

 

  1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP OC : DP = DP : BC ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;
  2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di
     

     

  3. Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio y.

     

PROBLEMA 2

Sia
 

con a,b,c numeri reali. Si determinino a,b,c in modo che:

 

  1. la funzione f sia pari;
  2. f(0)=2;

    3.

Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a,b,c i valori cos’ determinati e se ne disegni il grafico G.
Si consideri la retta r di equazione y=4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta.
Si calcoli l’area della regione finita del piano racchiusa tra r e G.
Si calcoli
 

Si determini la funzione g’ il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

QUESTIONARIO

 

  1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?
  2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità  che essa sia difettosa?
  3. Quale è la capacità  massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?
  4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.
  5. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l’equazione:
     

    ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione:
     

     

  6. Si vuole che l’equazione
     

    abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?

  7. Verificare l’uguaglianza:
     

    e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di , applicando un metodo di integrazione numerica.

  8. Dare un esempio di solido il cui volume è dato da
     

    .

  9. Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a senx e che. Quanto vale
     

     

  10. Verificare che l’equazione
     

    ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

 


Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario di italiano.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.