ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO


2004

CORSO DI ORDINAMENTO

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Sia f la funzione definita da: Formula

  1. Disegnate il grafico G di f.
  2. Nel primo quadrante degli assi cartesiani, considerate la retta y = c che interseca G in due punti distinti e le regioni finite di piano R e S che essa delimita con G. Precisamente: R delimitata dall’asse y, da G e dalla retta y = C e S delimitata da G e dalla retta y = c.
  3. Determinate c in modo che R e S siano equivalenti e determinate le corrispondenti ascisse dei punti di intersezione di G con la retta y = c;
  4. Determinate la funzione g il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta Formula

PROBLEMA 2

ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC.

  1. Dimostrate che la mediana relativa a BC è congruente alla metà di BC.
  2. Esprimete le misure dei cateti di ABC in funzione delle misure, supposte assegnate, dell’ipotenusa e dell’altezza ad essa relativa.
  3. Con Formula, determinate il cono K di volume massimo che si può ottenere dalla rotazione completa del triangolo attorno ad uno dei suoi cateti e la capacità in litri di K.
  4. Determinate la misura approssimata, in radianti ed in gradi sessagesimali, dell’angolo del settore circolare che risulta dallo sviluppo piano della superficie laterale del cono K.

QUESTIONARIO

 

  1. Trovate due numeri reali a e b, Formula, che hanno somma e prodotto uguali.
  2. Provate che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta a 4.
  3. Date un esempio di funzione f(x) con un massimo relativo in (1, 3) e un minimo relativo in (-1, 2).
  4. Dimostrate che l’equazione Formula ammette una e una sola soluzione reale.
  5. Di una funzione g(x), non costante, si sa che:
     

    Trovate una espressione di g(x).

  6. Verificate che le due funzioni Formula e Formula hanno la stessa derivata. Quale giustificazione ne date?
  7. Un triangolo ha due lati e l’angolo da essi compreso che misurano rispettivamente a, b e Formula. Quale è il valore di Formula che massimizza l’area del triangolo?
  8. La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi sessagesimali, i radianti, i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni?
  9. Calcolate: Formula
  10. Considerate gli insiemi Formula e Formula; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.