Introduzione all’infinito matematico; Cantor e il transfinito

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L’infinito

Tesina Esame di Stato

Stefano Gambaro

Esame di Maturità 2002

Matematica

“Un uomo, occupato a contare 10 ore al giorno per 50 anni della sua vita – osservava il matematico e filosofo Federigo Enriques – arriverebbe press’a poco a un miliardo”. Il che è ben poco se la nostra mente può molto facilmente concepire numeri molto più grandi. Del resto, nell’idea stessa del contare è insita la possibilità di enunciare una sequenza infinita di numeri. Basta aggiungere “più uno” a qualunque numero per ottenerne uno maggiore. In altre parole non esiste un ultimo elemento. Proprio in questo risiede il concetto di infinito potenziale, nell’idea di poter procedere sempre oltre. L’infinità potenziale è caratteristica dei nostro modo di concepire lo spazio e il tempo come un cubo sempre accrescibile o come un segmento indefinitamente prolungabile. Non è detto però che l’infinità potenziale sia necessariamente caratteristica dello spazio e tempo reali.

Consideriamo ad esempio la successione dei numeri naturali: essa è composta da una quantità inesauribile di elementi-. si può andare sempre avanti, senza fine, perché si può aggiungere sempre una unità. Si tratta di una successione infinita discreta: fatto un passo, è ben chiaro quale deve essere il successivo. Diverso è fi caso della retta. Qui la successione infinita è continua: arrivati a un certo punto, non ha senso parlare dei punto ad esso immediatamente successivo, perchè tra un punto e un altro che lo segue ci sono sempre infiniti punti che formano un segmento anch’esso continuo, infinitamente divisibile in parti esse stesse continue. Qui sembra ci sia qualcosa in più della possibilità di andare avanti all’infinito: passando dal punto P a un punto successivo Q sembra che si passi attraverso infiniti punti. Un infinito in atto, dunque, collezione infinita compiutamente data di tutti i suoi punti, e non solo in potenza; un’infinità compiuta, e non soltanto non completatile. La riflessione sull’infinito continuo, in atto, pone grandi problemi: Aristotele corse ai ripari affermando che “è impossibile che l’infinito sia in atto”; Cantor e Dedekind, invece, riuscirono a chiarire il problema.

Per duemila anni, l’idea dominante nel pensiero occidentale è stata l’idea aristotelica di un’infinito potenziale. Pura virtualità, l’infinito esiste solo come potenzialità, non può essere raggiunto e non ammette nessun al di là. La sua esistenza tuttavia impedisce di attribuire un limite finito allo spazio, che viene invece pensato come dotato di un limite che si può “allontanare” all’infinito. Si può tendere verso l’infinito, ma non è possibile raggiungerlo. Si tratta dunque di un infinito pensato come un finito in espansione non limitata.

Per questo Aristotele affermava. “l’infinito è dunque il contrario di quel che se ne dice; non ciò al di fuori di cui non c’è niente, ma ciò al di fuori di cui c’è sempre qualcosa di nuovo quanto alla quantità”.

D’altra parte la discussione sull’esistenza di un infinito in atto non era del tutto conclusa: l’idea continuava ad avere dei sostenitori, ma non mancavano gli avversari. Questi ultimi osservavano che l’infinito, essendo incompiuto, non può esistere come oggetto ben definito. E questo comporta gravissime contraddizioni, come per esempio il fatto che questo infinito in atto, essendo un numero, sarebbe contemporaneamente pari e dispari, divisibile e indivisibile.

Ma per passare dall’infinito potenziale, “∞”, limite verso cui si tende senza mai raggiungerlo, all’infinito realizzato, il numero N, ci sono voluti ventitré secoli. Alla fine dell’Ottocento, due matematici tedeschi, Richard Dedekind e Georg Cantor, stabiliscono l’esistenza dell’infinito in atto, quello stesso infinito di cui Aristotele aveva affermato la non esistenza.

Cantor riuscì addirittura a dimostrare che tale infinito non è unico. il suo ragionamento parte dall’affermazione principale da cui deriva quasi tutta la concezione aristotelica dell’infinito, che stabilisce il rapporto tra il finito e l’infinito: “Il tutto è più grande della parte”. Sembra una banalità: un tutto è tale per il fatto stesso che contiene le sue parti. Una parte non può essere comparata al tutto, perché perderebbe il suo carattere di parte. Quest’affermazione, funzionando come un assioma, ha chiuso per tanto tempo le porte dei numeri all’infinito.

Cantor e Dedekind invece, pongono alla base dei loro edificio una corrispondenza biunivoca tra due insiemi, ossia, presi due insiemi A e B, si associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, e ad ogni elemento di B uno e un solo elemento di A. Essi ritengono che due insiemi tra cui si possa stabilire una simile corrispondenza biunivoca abbiano lo stesso numero di elementi. Si pone allora la definizione fondamentale: due insiemi tra cui sussiste una corrispondenza biunivoca sono equivalenti, o meglio equipotenti.

Tra il 1870 e il 1880 gli studi di Cantor e Dedekind hanno prodotto una rivoluzione nella matematica. Rovesciando completamente la tradizionale affermazione suda parte che non può essere uguale al tutto, essi la assumono come proprietà fondamentale che definisce lo strano comportamento dell’infinito. Stabiliscono: “un insieme è infinito quando è equipollente con una sua parte propria”. L’insieme N dei numeri interi è, ad esempio, infinito. Infatti è possibile

stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme N di tutti i numeri interi e l’insieme P dei numeri interi pari, che è certamente una parte propria di N – La corrispondenza è la seguente-. ad ogni numero intero di N si fa corrispondere il suo doppio, che è un numero pari, dunque elemento di P. Viceversa ad ogni elemento di P, che è pari, si fa corrispondere la sua metà, che è un intero, dunque un elemento di N. Ecco l’infinito realizzato, in atto. L’insieme dei numeri interi non è più grande di una delle sue parti. Questo infinito svelato viene detto numerabile , o discreto.

Stabilito questo pilastro centrale, l’edificio di Cantor e Dedekind ha potuto strutturarsi con sbalorditiva semplicità, demolendo qui e là certezze che resistevano da anni e anni.

Cantor stabilisce per esempio che le frazioni non sono di più dei numeri interi. L’insieme Q dei razionali è equipollente all’insieme N. Questo significa forse che c’è un unico infinito? 0 che non

si può superare l’infinito numerabile?

Cantor dimostra che l’infinito numerabile o discreto non è l’unico infinito. La potenza dei numeri reali è maggiore. Non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra R, e N. Questo vuoi dire che su una retta, che corrisponde a R, ci sono infinitamente più punti che numeri interi per indicarli. Eccoci dunque in presenza di due infiniti; il secondo, quello di R, viene chiamato continuo.

Eppure, in un qualunque piccolo segmento ci sono altrettanti punti che in tutta la retta, e non di meno come ci si aspetterebbe. Per questo Cantor parla della “forza prodigiosa dei continuo”.

Si pone inevitabilmente una domanda: si può andare al di là dei continuo? Ci sono altri infiniti oltre al discreto e al continuo? Secondo Cantor sì.

Egli dimostra che l’insieme P (A) di tutte le parti di un insieme A ha una potenza superiore ad A, ovvero un insieme ha sempre più parti che elementi. Per l’esattezza un insieme che conta n elementi, conta 2n parti. Per esempio l’insieme A = {a, b, c}, che ha tre elementi, ha 8 = 23 parti: {a, b, c}, {a},{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, e l’insieme vuoto Ø.

Alla luce di questo teorema, si comprende che dato un insieme comunque infinito, si può sempre costruire un insieme di un infinito superiore. Partendo da N si può costruire una serie illimitata di infiniti.

Si creano quindi dei nuovi numeri, che Cantor chiama transfiniti. Li indica con la prima lettera dell’alfabeto ebraico, aleph: N. Il discreto, che è il più piccolo, si chiama N0: è l’infinito numerabile o quantizzato, dei numeri interi, razionali, irrazionali algebrici, e rappresentato geometricamente da una successione discreta di punti. Questo vuoi dire che non è possibile che un insieme infinito non contenga i numeri interi.

Il secondo livello di infinito è invece costituito da N1, che è la potenza del continuo superiore a quella dei numerabile, quindi i numeri reali e irrazionali trascendenti, geometricamente determinato dai punti di una linea. Naturalmente esistono molti altri livelli di infinito, Come N2, rappresentato dalle curve geometriche, e cosi via.

Cantor elabora un’aritmetica completa dei numeri transfiniti, con i quali esegue dei calcoli proprio come si fa con gli altri numeri. In tal modo realizza il suo progetto di “estendere il calcolo aritmetico al di là dei finito”. E il finito viene definito per mezzo dell’infinito: “è finito ciò che non è infinito” e che dunque non può essere messo in corrispondenza biunivoca con una delle sue parti proprie. Ora che il finito, definito negativamente, ha preso il suo posto nel concerto dei numeri, si può dire che per molto tempo nella moltitudine degli insiemi la parte è stata presa a torto per il tutto.

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