MPI – Esame di Stato/II^ prova a.s.1999-00


ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE – P.N.I.

Tema di MATEMATICA
 

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

1.Sia f(x) una funzione reale di variabile reale tale che valgano le seguenti condizioni:

f (x0) > 0 , f ‘(x0) > 0 , f “(x0) = 0 ,

dove x0 è un particolare valore reale.

a) Spiegare perché tali condizioni non sono sufficienti a determinare l’andamento di f(x) in un intorno di x0.

b) Trovare almeno tre funzioni polinomiali f(x), di grado superiore al 1°, aventi andamenti diversi in x0 = 0, tali che:

f (0) = 1 , f ‘(0) = 1 , f “(0) = 0 .

c) Determinare, se possibile, tutte le rette tangenti ai grafici delle funzioni trovate e parallele alla retta di equazione y = x + 1.

d) A completamento del problema dimostrare la formula che esprime la derivata, rispetto ad x, della funzione xn, dove n è un intero qualsiasi non nullo.

2.Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i punti: A(0, 2), B(1, 1), C(1, 0).

e) Trovare l’equazione della circonferenza g inscritta nel triangolo OAB.

f) Determinare le equazioni dell’affinità a che ha come punti uniti i punti O e C e trasforma il punto B nel punto A.

g) Calcolare l’area del triangolo CAA’, dove A’ è il punto trasformato di A nell’affinità a.

h) Stabilire se l’affinità a ha altri punti uniti, oltre ad O e C, e trovare le sue rette unite.

i) Stabilire quali, fra le rette unite trovate, risultano tangenti o esterne a g.

3. Assegnata la funzione:

dove il logaritmo si intende in base e, il candidato:

a) determini per quali valori di a e b la f(x) ha un minimo relativo nel punto ;

b) disegni la curva grafico della f(x) per i valori di a e di b così ottenuti e calcoli l’area della regione finita da essa delimitata con l’asse x.

Calcoli infine la probabilità che lanciando un dado cinque volte, esca per tre volte lo stesso numero.

_________________________________________
Durata massima della prova: 5 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura