Operazioni tra insiemi1


 

Complementare di un insieme.

Si definisce differenza complementare di un insieme rispetto all’universo, l’insieme degli elementi che non appartengono all’insieme dato.

Il complementare di un insieme A si può quindi ottenere come differenza tra l’universo e l’insieme stesso:

                                                 Ā = U – A

 

La scrittura Ā si legge appunto complementare di A”.

Nella figura sotto, la parte colorata è Ā :

 

                                                U

 

                                                                     A     

 

 

 

 

Si ha, per definizione:

                                               Ā  = {x ½x Î U e x Ï A}

 

 Da quanto detto segue che per ogni elemento a Î U si verifica sempre una delle seguenti scritture:

a Î A ;            a Î Ā

 

Si dice che A e Ā sono complementari in U.

E facile verificare le seguenti proprietà:

 

                                                 A È Ā = U        

                                                 A Ç Ā = Æ

                                                 Ū = Æ

                                                 = U

                                                = A

 

Qualunque siano i sottoinsiemi A, B di U, valgono le seguenti Leggi1  di De Morgan:

 

                                                 

 

                                                


Note:

1. Per operazione binaria intendiamo una legge di composizione tra due elementi che fornisce come risuLtato un terzo elemento della stessa natura.

2. Le Leggi di de Morgan vengono utilizzate per limplementazione delle porte logiche nei circuiti binari degli elaboratori elettronici