Schede matematica

di Elena

RICERCA OPERATIVA

Lo studio della ricerca operativa contribuisce a formare la capacità di tradurre e risolvere scientificamente i problemi reali a livello sia individuale, sia professionale e la competenza a prendere decisioni tenendo conto dei rischi connessi.

La ricerca operativa può essere considerata:

l’applicazione del metodo scientifico

da parte di gruppi interdisciplinari

a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati(uomo-macchina) al fine di fornire soluzioni che meglio servano gli scopi dell’organizzazione nel suo insieme.

PRIMA FASE

La prima fase della ricerca operativa consiste nell’esame della situazione reale e nella raccolta delle informazioni nel modo più ampio e approfondito possibile.

SECONDA FASE

La seconda fase è la formulazione del problema, che comporta l’individuazione delle variabili controllabili e non controllabili e la scelta della funzione economica da massimizzare o minimizzare.

TERZA FASE

La terza fase è la costruzione del modello matematico , che deve essere una buona rappresentazione del problema, anche se è quasi impossibile che sia una rappresentazione perfetta; il modello non è qualcosa di statico e definitivo, ma può essere modificato in una successiva revisione, per renderlo più aderente al problema. Un buon modello deve essere semplice da utilizzare, rappresentare completamente il problema, fornire tutte le informazioni per poter assumere una decisione razionale.

Il modello matematico, in generale, è espresso da una funzione:

U=f(x1,.,xn  ;  y1,,ym)

dove x1 sono le variabili controllabili e y1 le variabili non controllabili ed U è la funzione economica da ottimizzare.

Alla suddetta funzione si aggiungono dei vincoli:

g(x1,.,xn  ;  y1,.,ym)>=0

possono essere utilizzati diagrammi a blocchi, grafi, matrici,ecc

Il modello matematico è di fondamentale importanza per la ricerca operativa infatti oltre a rappresentare il problema, permette di eseguire delle sperimentazioni, impossibili nella realtà, per analizzare i cambiamenti che si verificherebbero modificando i valori di certe variabili. Inoltre, in certi casi, l’analisi del modello per molti casi numerici, naturalmente cin l’aiuto di un calcolatore.

QUARTA FASE

In una quarta fase si cerca la soluzione del modello, se è possibile mediante i metodi della matematica classica e con i metodi dell’analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione, partendo da una prima soluzione e cercando di migliorarla.

ULTIMA FASE

L’ultima fase è quella di analisi e di verifica delle soluzioni ottenute. E’ questo il momento, prima di applicare i risultati ottenuti della ricerca, di controllare se la soluzione teorica offre vantaggi attesi e di verificare la rappresentatività del modello. Se è necessario, si provvede alla correzione del modello anche se si consiglia di controllare continuamente, durante l’elaborazione, l’aderenza del modello al problema in esame.

I problemi di ricerca operativa sono molti e diversi fra loro e alcuni di essi sono stati risolti con tecniche specifiche, fra esse ricordiamo:

• La programmazione lineare, impiegata per la pianificazione della produzione, per le assegnazioni delle risorse(uomini, macchine,ecc..) per il trasporto dei beni prodotti, per la scelta degli investimenti ecc..

• La programmazione dinamica, utilizzata per la programmazione delle spese di pubblicità, per la distribuzione delle vendite, per problemi di decisione correlati fra loro ecc;

• La teoria delle code, di notevole utilità per problemi di traffico, di manutenzione degli impianti

• La teoria delle scorte, di fondamentale importanza per i problemi che implicano l’approvvigionamento e la conservazione in magazzino di beni.

• Le tecniche reticolari(PERT) per l’analisi ed il controllo di progetti;

Modelli matematici: esempi

I modelli sono rappresentazioni della realtà in forma semplificata e i più importanti sono:

1-  Modelli iconici: sono descrittivi della realtà, come i mappamondi, i modelli di automobili..ecc.

2-  Modelli analogici: utilizzano proprietà di un insieme per rappresentare le proprietà di un altro insieme, come un impianto idraulico per rappresentare impianti elettrici..ecc..

3-  Modelli matematici: sono più astratti e si esprimono con relazioni matematiche fra le variabili e la grandezza da ottimizzare.

PROBLEMI DI DECISIONE

In ogni decisione si effettua una scelta per ottimizzare una funzione economica. La ricerca operativa permette di individuare le varie vie di azione e di determinare quella, e quelle, più convenienti.

I problemi di decisione si possono classificare secondo varie caratteristiche.

Una prima suddivisione porta distinguere i problemi di scelta in relazione al numero delle variabile controllabili, dette variabile di azione. Si hanno cosi problemi di scelta dipendenti da una sola variabile, problemi di scelta dipendenti da due o più variabili.

Unimportante classificazione riguarda le condizioni in cui si opera la scelta; precisamente si distinguono:

• Problemi di scelta in condizioni di certezza, se i dati e le conseguenze sono determinabili a priori;

• Problemi in condizioni di incertezza, quando alcune grandezze sono variabili aleatorie, la cui distribuzione di probabilità può essere valutata o no.

I problemi di scelta si distinguono poi in :

• Problemi di scelta con effetti immediati, se fra il momento della decisione e il momento della realizzazione decorre un tempo breve che non influisce sulle grandezze economiche.

• Problemi di scelta con effetti differiti, se occorre tenere conto dellintervallo di tempo che intercorre fra il momento della decisione e le epoche in cui si realizzeranno le conseguenze.

a)  SCELTE IN CONDIZIONI DI CERTEZZA CON EFFETTI IMMEDIATI

il problema consiste nel determinare il massimo o il minimo, di una funzione economica, o nella  scelta più conveniente fra varie alternative possibili.

Si possono distinguere:

  Problemi di scelta nel caso continuo:
in questi problemi la funzione economica è una funzione reale di una variabile reale che può assumere tutti i valori reali di un certo intervallo.

  Problemi di scelta nel caso discreto:
se la variabile assume valori interi, il grafico della funzione economica è un insieme di punti del piano cartesiano. Se i valori sono finiti ed in numero limitato, per il calcolo del minimo, o del massimo, si può costruire una tabella e dalla stessa dedurre per quale, o per quali valori si ha l’ottimo.

  Problemi di scelta fra due o più alternative:
i problemi finora considerati richiedevano di scegliere il valore di una variabile x che ottimizzasse la funzione economica. In questo caso il problema è diverso: si hanno due o più funzioni che rappresentano, ad esempio, procedimenti differenti per fabbricare lo stesso prodotto, oppure tariffe diverse per il trasporto della merce. Il procedimento consiste nel rappresentare nello stesso sistema di assi cartesiani ortogonali le funzioni economiche delle varie alternative e determinare gli eventuali punti di intersezione, detti di indifferenza, poiché per quei valori di x e y sono eguali.

IL PROBLEMA DELLA SCORTE

Un problema importante che devono affrontare le imprese è il problema delle scorte.

Ogni impresa industriale per la sua produzione ha necessità di avere in magazzino una quantità sufficiente di materia prima, ogni ditta commerciale per la vendita di merci ha necessità di avere in magazzino una quantità sufficiente delle varie merci per soddisfare le richieste dei clienti.

Per le ordinazioni, oltre alla spesa della merce ordinata, si sostengono delle spese fisse e quindi si devono fare poche ordinazioni, ciascuna di grandi quantità di merce.

Il problema delle scorte nella sua completezza sarebbe un problema di decisioni in condizioni di incertezza perché vari sono i fattori aleatori. Si assumono due ipotesi semplificatrici:

• Si suppone che il consumo della merce sia uniforme nel tempo

• Si suppone che la merce ordinata arrivi appena è terminata la merce della precedente ordinazione.

In base a queste ipotesi si può schematizzare la situazione del magazzino in funzione del tempo t:

Indicando con la x la quantità di merce da ordinare ogni volta, all’inizio di ogni periodo T, per le ipotesi fatte, arriva la merce ordinata. Avendo supposto un consumo uniforme nel tempo T, il livello della scorta decresce in modo rettilineo e diventa nullo un istante prima dell’arrivo della successiva ordinazione.

Esaminiamo separatamente i costi per le ordinazioni e per il magazzinaggio.

Se indichiamo con la Q la quantità di merce necessaria per un dato intervallo di tempo, il numero di ordinazioni occorrenti, essendo x la quantità di merce ordinata ogni volta, è dato da Q/x.

Se ogni ordinazione comporta una spesa fissa S, la spesa per tutte le ordinazioni da effettuare in quellintervallo di tempo è S*Q/x.

Per calcolare le spese di magazzino osserviamo che, avendo supposto un consumo uniforme, il valore medio della scorta è uguale alla media aritmetica fra la giacenza massima x e la giacenza minima 0 cioè: x+0/2 = x/2

Le spese di magazzinaggio si considerano proporzionali alla scorta media x/2 e, indicano con s il costo di magazzino per ogni unità di scorta nello stesso intervallo di tempo, esse risultano s*x/2

La funzione economica da rendere minima è il costo complessivo:

y=S*Q/x+s*x/2

il vincolo rappresentato è quello della capienze del magazzino:0<x<=0

per determinare il minimo del costo y annulliamo la derivata prima:

y=-SQ/x2+s/2