Terze prove di Matematica

Tipologia B: Quesiti a risposta aperta

Analisi matematica

1. Si enunci una condizione sufficiente affinché una funzione polinomiale di grado n ammetta almeno uno zero reale.

(massimo 3 righe)

Esempio di risposta

Una funzione polinomiale f ammette almeno uno zero reale se esistono due numeri a e b tali che f(a)·f(b) < 0

2. A quali condizioni devono soddisfare i coefficienti a, b, c, d affinché la funzione

  f(x)=ax3+bx2+cx+d

non abbia massimi né minimi relativi?

(massimo 3 righe)

3. Enuncia il teorema di Rolle.

(massimo 3 righe)

4. Esibisci un esempio di funzione continua in un punto b del suo dominio la cui derivata prima ha in b una discontinuità del primo tipo. Fornisci anche un esempio di funzione continua in un punto b del suo dominio la cui derivata prima ha in b una discontinuità del secondo tipo.

(massimo 3 righe)

5. Mediante opportuni controesempi, dimostra che la condizione f(a)=0 non è necessaria né sufficiente per l’esistenza in a di un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f.

(massimo 3 righe)

6. Sia f una funzione crescente in A e sia g una funzione decrescente in A. Discuti la monotonia della funzione composta h=f ° g.

(massimo 3 righe)

7. Determinare il dominio della funzione y=ln(x2-3x+2)

8. Scrivere l’equazione della tangente alla curva di equazione y=y2-3x+2 nel suo punto di ascissa x=0

Geometria dello spazio

1. Enuncia il teorema di Eulero e fornisci un esempio di solido per il quale non vale tale teorema.

(massimo 3 righe per ciascun quesito)

2. Enuncia la definizione di cono circolare retto.

(massimo 3 righe)

Trigonometria

1. Stabilisci se il triangolo i cui lati misurano rispettivamente 4u, 5u e 6u è ottusangolo, acutangolo o rettangolo.

(massimo 3 righe)

2. Determina la periodicità della funzione f(x) = _cos(x – _/3) – 2 sen (3x)

(massimo 3 righe)

Calcolo delle probabilità

1. Enuncia il teorema di Bayes.

(massimo 3 righe)

2. Descrivi il procedimento per trasformare una variabile casuale normale nella corrispondente variabile normale standardizzata.

(massimo 3 righe)