Funzioni costi di produzione

Matematica

di Nicola Fusco

Quando un’impresa produce un bene, sostiene vari tipi di costi che possono essere classificati in fissi e variabili.
Si dicono costi fissi i costi che non variano al variare della quantità prodotta; per esempio il costo di un macchinario, l’affitto dei locali di produzione, eccetera.
Si dicono costi variabili i costi che variano al variare delle quantità prodotte x e in particolare aumentano al crescere della quantità prodotta; per esempio il costo delle materie prime, i costi per i consumi di energia, eccetera.
Si dice costo totale relativo alla produzione di una certa quantità x di un bene la somma dei costi fissi e dei costi variabili necessari per produrre quella quantità x di bene,

Il costo totale è quindi una funzione crescente della quantità x di bene prodotto, perché i costi variabili aumentano all’aumentare della produzione. Indicando con Cf i costi fissi , con Cv(x) i costi variabili e con C(x) il costo totale, possiamo scrivere
C(x) = Cf + Cv(x)
con x >0.
Risulta C'(x) > 0 (derivata di C(x)) per ogni x > 0, in quanto funzione crescente.
La rappresentazione grafica della funzione costo totale nel piano cartesiano si ottiene indicando sull’asse delle ascisse la quantità x di bene prodotto e sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori di C(x).
Le funzioni costo totale più spesso utilizzate sono le seguenti:

Funzione di secondo grado:

C(x) = ax2 + bx + c

con a > 0 e b,c ? 0 definita per x > 0

oppure con a < 0 e b,c > 0 definita per 0 ? x ? -b/2a

La funzione di secondo grado è rappresentata, nel primo caso, da una parabola crescente con la concavità rivolta verso l’alto, in quanto a > 0, mentre nel secondo caso è rappresentata da un arco di parabola crescente con la concavità rivolta verso il basso, in quanto a < 0; alla stessa conclusione sull’andamento crescente della funzione si giunge calcolando la derivata prima che è C'(x) = 2ax + b e che risulta sempre positiva, se per ipotesi a > 0 e b ? 0 (funzione crescente) e che risulta positiva per x ? -b/2a , se a < 0 e b > 0 (funzione crescente); inoltre la derivata seconda è C'(x) = 2a e risulta 2a sempre positiva se a > 0 (concavità rivolta verso l’alto), mentre sempre negativa se a < 0 (concavità rivolta verso il basso).

Si dice costo medio o unitario della produzione di una quantità x di un bene il rapporto fra il costo totale sostenuto e la quantità prodotta x
Cu(x) = C(x) / x
con x > 0
Esso indica, in media, il costo di ogni unità prodotta.
Se la funzione costo totale è lineare, la funzione costo unitario è la seguente:
Cu(x) = (ax + b ) / x = a + b/x
con x >0
e la sua rappresentazione grafica è un ramo di iperbole equilatera decrescente, di asintoti
x=0 e y=a.

di Nicola Fusco

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