OPERAZIONI TRA INSIEMI1

  

Intersezione

Si definisce intersezione tra due insiemi l’insieme degli elementi che appartengo ad entrambi gli  insiemi dati (gli elementi comuni). Dati ad esempio i due insiemi A = {0,1,2,3,4} e  B = {0,2,4,6}, lintersezione tra A e B è data dal seguente insieme:

 

                                                 A Ç B = {2, 4}

 

Il simbolo Ç è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere A intersecato B” oppure A e B“. Infatti la congiunzione caratterizza, dal punto di vista del linguaggio, lintersezione. Illuminante a tal proposito è la rappresentazione intensiva dell’insieme intersezione:

 

                                                 A Ç B = {x ½x Î A e x Î B}

 

E la rappresentazione con i diagrammi, dove lintersezione è la parte colorata:

                                                

Per lintersezione valgono le seguenti proprietà, dove per A, B e C si intendono insiemi qualsiasi:

 

                                                 A Ç A = A                                          proprietà di idempotenza2 

                                                 A Ç B = B Ç A                                  proprietà commutativa3 

                                                 A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C             proprietà associativa4 

                                                 A Ç Æ = Æ                                         elemento assorbente5 

                                                 A Ç U = A                                          elemento neutro6

                           

Inoltre, se A Í B, allora A Ç B = A. Questo risulta evidente con il diagramma:

                                                         

                                                            A

                                                                 B

              

           

 

 

Vediamo adesso una applicazione delle operazioni di unione e intersezione. Ci proponiamo di determinare, per via insiemistica, il massimo comun divisore (MCD7 ) ed il minimo comune multiplo  (mcm8 ) dei numeri 12, 18 e 24. A tale scopo costruiamo gli insiemi formati dai divisori dei tre numeri:

               D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}        D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}        D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

 

e determiniamo lintersezione dei tre insiemi:     

 

                                                  D = {1, 2, 3}.

 

Il MCD è chiaramente l’elemento massimo di tale insieme, cioè 3.

Costruiamo adesso gli insiemi formati da multipli dei tre numeri:

 

                     M12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 108, 120, 132, 144, .}  

                     M18 = {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180,}

                     M24 = {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, }

 

e, come in precedenza, lintersezione dei tre insiemi:

 

                                                 M = {72,  144, .}

 

Il mcm dei tre numeri è l’elemento minimo di tale insieme, cioè 72.

 

 


Note:

1. Per operazione binaria intendiamo una legge di composizione tra due elementi che fornisce come risutato un terzo elemento della stessa natura.

2. Come per i numeri 1 e 0 nella moltiplicazione

3. Come la moltiplicazione

4. Come la moltiplicazione

5. Ricorda il numero 0 nella moltiplicazione

6. Ricorda il numero 1 nella moltiplicazione

7. Il massimo comun divisore fra due o più numeri è il più grande fra tutti i divisori comuni ai numeri dati.

8. Il minimo comune multiplo fra due o più numeri è il più piccolo fra tutti i multipli comuni ai numeri dati.