Teoremi di geometria

appunti di studio di Miriam Gaudio

ASSIOMI

Assioma 1 » cose uguali ad una stessa sono uguali.

Assioma 2 » uguali aggiunti ad uguali sono uguali.

Assioma 3 » uguali sottratti ad uguali sono uguali.

Assioma 4 » cose che coincidono tra loro sono uguali.

Assioma 5 » il tutto è maggiore di ogni sua parte.

POSTULATI

Postulato 1 » da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.

Postulato 2 » ogni retta terminata si può prolungare continuamente per diritto.

Postulato 3 » con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un centro.

Postulato 4 » tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Postulato 5 » se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli alterni da una stessa parte

  Minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte

  In cui sono i due angoli minori di due retti.

TEOREMI DI GEOMETRIA

Teorema 1 » primo criterio di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno un angolo e i lati che lo formano in comune sono congruenti.

Ipotesi » A = A

  » AB = AB

  » AC = AC

Tesi » ABC = ABC

Dimostrazione » immagino di sovrapporre l’angolo A ad A con un movimento rigido in modo che

  Vertici e lati AB e AB coincidano.

  » deduco che AB = AB » per ipotesi 1

  » deduco che AC = AC e che C = C » per ipotesi 2,3

  » deduco che i due triangoli hanno i vertici coincidenti

  » possibile per assioma 4

Scheda » concetti » triangolo, angolo, lato

  » idea centrale » sovrapporre i triangoli mediante un movimento rigido

  » A.P.T.U. » assioma 4

 

Teorema 2 » secondo criterio di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno due angoli e il loro lato comune congruente allora sono congruenti.

Ipotesi » angoli B = B

  » angoli C = C

  » BC = BC

Tesi » ABC = ABC

Dimostrazione » immagino di sovrapporre mediante movimento rigido i lati AB con AB

  » è possibile per ipotesi 3

  » osservo che le semirette AB e CA si sovrappongono rispettivamente

   Ad AB e CA

  » è possibile per l’ipotesi 1,2

  » deduco che C = C quindi i triangoli sono completamente corrispondenti

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo

  » idea centrale » sovrapporre i due lati con il movimento rigido

  » A.P.T.U. » nessuno

Teorema 3 » angoli alla base del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti.

Ipotesi » AB = CA

Tesi » angoli ABC = BCA

Dimostrazione » traccio la bisettrice dell’angolo A che incontra BC nel punto H

  » considero i triangoli BHA e HCA essi hanno:

–  AH in comune

–  AB = CA per ipotesi

–  Angoli CAH = HAB per costruzione

  » deduco che BHA =HCA » per teorema 1

  » in particolare gli angoli ABC = BCA » CVD

Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo

  » idea centrale » tracciare la bisettrice dell’angolo al vertice

  » A.P.T.U. » teorema 1

Teorema 4 » proprietà del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana

relativa alla base.

Ipotesi » AC = BC

  » angoli ACH = HBA

Tesi » CH AB

  » AH = HB

Dimostrazione » considero i triangoli AHC e HBC essi hanno:

–  CH in comune

–  AC = BC per ipotesi

–  Angoli ACH = HBA per ipotesi

  » deduco che AHC = HBC » per teorema 1

  » in particolare AH = HB » CVD 1

  » deduco che gli angoli AHC e BHC sono retti perché adiacenti e congruenti » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo isoscele, bisettrice, altezza, mediana, angolo, base

  » idea centrale » considerare i due triangoli che si formano tracciando l’altezza

  » A.P.T.U. » teorema 1

Teorema 5 » triangolo con due angoli uguali (inverso del teorema 3)

Un triangolo avente due angoli uguali è isoscele ed ha uguali i due lati opposti ai due angoli uguali.

Ipotesi » angoli ABC = BCA

Tesi » AB = CA

Dimostrazione » traccio le bisettrici BP e QC degli angoli congruenti

   » considero i triangoli BPC e CQB essi hanno:

–  BC in comune

–  Angoli BCP = CBQ per ipotesi

–  Angoli PBC = QCB perché metà di angoli uguali

  » deduco che BPC = CQB » per teorema 2

  » in particolare BP = CQ e angoli CPQ = BQC

  » considero i triangoli BPA e CQA essi hanno:

–  BP = CQ per dimostrazione precedente

–  Angoli PBA = QCA perché supplementari di angoli uguali

–  Angolo A in comune

  » deduco che BPA = CQA » per teorema 2

  » in particolare AB = CA » CVD

Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo, lato

  » idea centrale » tracciare le bisettrici degli angoli congrienti

  » A.P.T.U. » teorema 2

Teorema 6 » terzo criterio di uguaglianza dei triangoli

Due triangoli aventi i lati rispettivamente congruenti sono congruenti.

Ipotesi » AB = AB

  » BC = BC

   » CA = CA

Tesi » ABC = ABC

Dimostrazione » sposto attraverso il ribaltamento il secondo triangolo nel semipiano delimitato

  dalla retta AB non contenente C in modo che AB coincida con AB

–  triangolo acutangolo » CC interseca AB in D interno ad AB

–  triangolo ottusangolo » CC interseca AB in D esterno ad AB

–  triangolo rettangolo » CC interseca AB in B, uno degli angoli interni del triangolo

  » congiungo i punti C con C

–  triangolo acutangolo » si hanno i triangoli CAC e CBC isosceli

  » angoli ACB = ACB perché somme di angoli uguali » per assioma 2

  » deduco che ABC = ABC » per teorema 1

–  triangolo ottusangolo » si hanno i triangoli CAC e CBC isosceli

  » angoli ACB = ACB perché differenza di angoli uguali » per assioma 3

  » deduco che ABC = ABC » per teorema 1

–  triangolo rettangolo » si hanno i triangoli ABC e ABC essi hanno

  » AB in comune

  » due angoli del lato in comune congruenti per costruzione

  » deduco che ABC = ABC » per teorema 2

Scheda » concetti »

  » idea centrale »

  » A.P.T.U. »

Teorema 7 » primo teorema dell’angolo esterno

In un triangolo l’angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente.

Ipotesi » ACD è un angolo esterno

Tesi » ACD > A

  » ACD > B

Dimostrazione » traccio la mediana BM e un segmento MN = BM poi congiungo N a D

  » considero i triangoli AMB e ACN essi hanno:

–  BM = MN per costruzione

–  AM = MC per costruzione

–  Angoli AMB = NMC per il teorema degli angoli opposti al vertice

  » deduco che AMB = ACN » per teorema 1

  » in particolare gli angoli BAM = MCN

  » deduco che ACD > A perché è una sua parte » CVD 1

  » con procedimento analogo dimostro che ACD > B » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo, angolo interno / esterno / adiacente

  » idea centrale » tracciare la mediana, il segmento MN e congiungerlo con D

  » A.P.T.U.» teorema 1

Teorema 8 » lato maggiore

In un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa.

IMPLICAZIONE DIRETTA » se AC > BC allora esiste un punto D su AC tale che AD = AB

Ipotesi » AC > BC

Tesi » angoli ABC > BAD

Dimostrazione » deduco che ABC > ABD perché BD è un raggio dell’angolo ABC

  » ABD = ADB » per teorema 3 riferito al triangolo ABD

  » ADB > BAD » per teorema 7 riferito al triangolo DBC

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza

  » A.P.T.U. » teorema 3,7

IMPLICAZIONE INVERSA » osservo che AC non può essere né congruente né minore di CB

Ipotesi » angoli ABC > BAD

Tesi » AC > BC

Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi

–  se fosse AC = BC » triangolo dovrebbe essere isoscele » angoli ABC = BAD » per teorema 5

–  se fosse AC < BC » ABC < BAD per implicazione diretta » negazione ipotesi

  » deduco che AC > BC per ipotesi 1

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza

  » idea centrale » metodo per assurdo

  » A.P.T.U. » teorema 5

Teorema 9 » disuguaglianza dei triangoli

In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.

Teorema 10 » lato differente da altri due

In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due

Teorema 11 » unicità perpendicolare

Se due triangoli hanno una coppia di lati a due a due congruenti e gli angoli compresi disuguali, tra i lati opposti a questi vi è una disuguaglianza nello stesso verso.

Teorema 12 » rette perpendicolari ad una trasversale

Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.

Esercizio non sviluppato. Svolgilo tu!

Ipotesi »

  »

Tesi »

Dimostrazione »

  »

  »

  »

Scheda » concetti »

  » idea centrale »

  » A.P.T.U. »

Teorema 13 » rette perpendicolari

Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni congruenti allora

–  le coppie di angoli alterni esterni sono congruenti

–  le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti

–  le coppie di angoli coniugati sono supplementari

Ipotesi » 4 = 6

Tesi » 1 = 7 ; 2 = 8

  » 1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8

  » 1 + 8 ; 2 + 7 ; 3 + 6 ; 4 + 5 = 180°

Dimostrazione » osservo che 2 è opposto al vertice rispetto a 4

  » osservo che 8 è opposto al vertice rispetto a 6

   » deduco che 2 = 4 e 8 = 6 » per teorema degli angoli opposti al vertice

  » deduco che 2 = 8 » per ipotesi + assioma 4 » CVD 1

  » osservo che 3 è adiacente a 4 e che 7 è adiacente a 6

   » deduco che 3 = 7 » per assioma 3 » CVD 2

  » considero 4 e 5:

–  4 = 6 per ipotesi

–  5 è supplementare di 6 in quanto adiacente

  » deduco che 5 + 6 = 180° » 6 = 4 » 5 + 4 = 180° » per assioma 2 » CVD 3

Scheda » concetti » retta, trasversale, angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati, corrispondenti

  » idea centrale » considerare 2 e 8

  » A.P.T.U. » assioma 2,3,4

Teorema 14 » teorema diretto sulle parallele

Rette che individuano con una trasversale coppie di angoli alterni congruenti sono parallele.

Ipotesi » 1 = 2

Tesi » a // b

Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi » ????????????

  » considero il triangolo ABC

  » considero l’angolo esterno â^, ad ABC esso gode di queste proprietà

–  â^, = 2 » perché angoli corrispondenti » per teorema 13

–  â^, > 2 » perché esterno a 2 » per teorema 7

   » osservo che c’è una contraddizione » deduco che la tesi è vera

Scheda » concetti » retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni

  » idea centrale » metodo per assurdo

  » A.P.T.U. » teorema 7,13

Teorema 15 » teorema inverso sulle parallele

Nel piano euclideo due rette parallele formano con una trasversale coppie di angoli alterni interni congruenti.

Ipotesi » a // b

Tesi » 1 = 2

Dimostrazione » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » 1 > 2 » ????

  » deduco che c // b » per teorema 14

  » deduco che a non è parallelo a b » per postulato 5

  » contraddizione dell’ipotesi » deduco che la tesi è vera

Scheda » concetti » piano euclideo, retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni

  » idea centrale » metodo per assurdo

  » A.P.T.U. » teorema 14

   » postulato 5

Teorema 16 » trasversale di rette parallele

Se una retta t interseca una retta r (senza coincidere), allora interseca ogni retta parallela ad r.

Teorema 17 » perpendicolare a rette parallele

Se una retta r è perpendicolare ad una retta s, allora r è perpendicolare ad ogni retta parallela a s.

Teorema 18 » distanza di due rette parallele

I punti di una retta sono equidistanti da una sua parallela.

Teorema 19 » parallela ad una parallela

Due rette che sono parallele a una stessa retta sono parallele tra loro.

Teorema 20 » lati opposti di un parallelogrammo

I lati opposti di un parallelogrammo sono congruenti.

Teorema 21 » fascio di rette

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra.

Ipotesi » a // b // c // d

  » r, t sono trasversali

  » AB = CD

Tesi » AB = CD

Dimostrazione » traccio la retta a parallela a t passante per A

  » traccio la retta c parallela a t passante per C

  » considero i parallelogrammi AABB e CCDD essi hanno:

–  AB = AB » per teorema 20

–  CD = CD » per teorema 20

  » considero i triangoli ABB e CDD essi hanno :

–  angoli BAB = DCD » perché corrispondenti di a // c » per teorema 13

–  angoli ABB = CDD » perché corrispondenti di a // c » per teorema 13

–  AB = CD » per ipotesi

  » deduco che i triangoli ABB = CDD » per teorema 2

  » in particolare hanno AB = CD

  » deduco che AB = CD » per la proprietà transitiva della congruenza

Scheda » concetti » rette parallele, trasversale, segmento

  » idea centrale » tracciare le rette a, c // t

  » A.P.T.U. » teoremi 2,13,20

Teorema 22 » secondo teorema dell’angolo esterno

Dato un triangolo qualsiasi

–  ciascun angolo esterno è pari alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.

–  la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Ipotesi » ACD = angolo esterno

Tesi » angoli ACD = CAB + ABC

  » ABC + BCA + CAB = 180°

Dimostrazione » traccio la retta r // AC » per postulato 5

  » considero AC trasversale di r e AC

  » deduco che gli angoli CAB = ACE » per teorema 14

  » considero AB trasversale di r e AC

  » deduco che gli angoli ABC = ECD » per teorema 13 (sono corrispondenti)

   » deduco che ACD = ACE + ECD

  » deduco che ACD = CAB + ABC » per assioma 1 » CVD 1

  » deduco che ACB + ACE + ECD = 180° » per costruzione

  » deduco che ACB + CAB + ABC = 180° » per assioma 1 » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo, angolo esterno / interno / adiacente / piatto

  » idea centrale » tracciare la retta r // AC

  » A.P.T.U. » postulato 5

  » assioma 1

   » teorema 13,14

Teorema 23 » congiungente dei punti medi di un triangolo

Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.

Teorema 24 » trapezi

In un trapezio isoscele

–  gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti

–  le diagonali sono congruenti

Teorema 25 » proprietà del parallelogrammo

In un parallelogrammo:

–  i lati opposti sono congruenti.

–  Gli angoli opposti sono congruenti.

–  Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà (=si bisecano).

Ipotesi » ABCD è un parallelogrammo

Tesi » AD = BC

   AB = DC

  » ABC = CDA

  DAB = BCD

  » AO = OC

  DO = OB

Dimostrazione » traccio le diagonali e deduco che AB = CD e che BC = DA

  » per teorema 20 » CDV 1

  » deduco che gli angoli ABC = ADC » perché corrispondenti dei triangoli

  Congruenti ABC e ACD » CVD 2

  » deduco che gli angoli DAB = BCD » per assioma 2 (somma di angoli = )

  » considero i triangoli DAO e BCO essi hanno:

–  AD = BC » per teorema 20

–  Angolo D = B » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)

–  Angolo A = C » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)

  » deduco che DAO = BCO » per teorema 2

  » in particolare che AO = OC e DO = OB » CDV 3

Scheda » concetti » parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonale

  » idea centrale » confrontare i triangoli che si formano tracciando le diagonali

  » A.P.T.U. » assioma 2

  » teorema 2,13,20

Teorema 26 » proprietà inverse del parallelogrammo (inverso del teorema 25)

Un quadrilatero è un parallelogrammo se è verificata anche una sola delle seguenti condizioni:

–  i lati opposti sono congruenti

–  gli angoli opposti sono congruenti

–  le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.

CONDIZIONE 1

Ipotesi » BC = AD

  » CD = AB

Tesi » BC // AD

  CD // AB

Dimostrazione » traccio la diagonale BD

  » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:

–  BD in comune

–  BC = AD » per ipotesi 1

–  CD = AD » per ipotesi 2

  » deduco che BCD = ABD » per teorema 6

  » in particolare gli angoli BDA = DBC

  » deduco che BC // AD e CD // AB » per teorema 14

CONDIZIONE 2

Ipotesi » angoli A = C

  » angoli B = D

Tesi » AD // BC

  AB // CD

Dimostrazione » deduco che la somma degli angoli interni del quadrilatero è due angoli piatti

  » per teorema 22 (il quadrilatero infatti si può dividere in due triangoli)

  » deduco che A + B + C + D = 2A + 2B = 360°

  » è possibile per ipotesi 1,2

  » deduco che A + B = 180°

  » deduco che AD // BC » per teorema 13

  » analogamente anche AB // CD

CONDIZIONE 3

Ipotesi » AO = OC

  » BO = OD

Tesi » AD // BC

  AB // CD

Dimostrazione » considero i triangoli AOB e COD essi hanno:

–  AO = OC » per ipotesi

–  BO = OD » per ipotesi

–  Angoli COB = DOA » per teorema degli angoli opposti al vertice

  » deduco che AOB = COD » per teorema 1

  » in particolare AB = DC e AD = BC

  » deduco che AD // BC e AB // CD » per condizione 1

Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonali

  » idea centrale » condizione 1,2 » tracciare le diagonali

   » condizione 3 » considerare i triangoli AOD e COB

  » A.P.T.U. » teorema 1,6,13,14

Teorema 27 » lati opposti del parallelogrammo (inverso del teorema 20)

un quadrilatero è un parallelogrammo se ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.

Ipotesi » AB = CD

   » AB // CD

Tesi » AD // CD

Dimostrazione » traccio la diagonale BD

  » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:

–  AB = CD » per ipotesi

–  BD in comune

–  Angoli ABD = BDC » per teorema 13 + ipotesi

  » deduco che BCD = ABD » per teorema 1

  » in particolare gli angoli ADB = DBC

  » deduco che AD // CD » per teorema 14 » CDV

Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati opposti, parallelismo

  » idea centrale » traccio la diagonale BD

  » A.P.T.U. » teorema 1,13,14

Teorema 28 » intersezione di mediane

Il punto dintersezione di due mediane di un triangolo le divide in due parti tali che quella uscente dal vertice è il doppio dell’altra

Ipotesi » AP = PC

  » AM = MB

Tesi » BK = 2KP

  » CK = 2 KM

Dimostrazione » traccio un segmento MP

Scheda » concetti »

  » idea centrale »

  » A.P.T.U. »

.

Teorema 29 » baricentro unico

Le mediane di un triangolo passano tutte per uno stesso punto.

Ipotesi » AM = MB

  » BN = NC

  » CP = PA

Tesi » MC BP AN = K

Dimostrazione » considero K il punto dintersezione delle mediane BP MC

  » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » la mediana AN non passa per K

  » deduco che AN si interseca con BC in N ?  N

  » deduco che » KP = BP/3 » per teorema 28

   » NP = BP/3 » per teorema 28

  » deduco che KP = NP

  » contraddizione della tesi perché N?  K

  » deduco che AN passa per K » CVD

Scheda » concetti » mediana, triangolo, punto

  » idea centrale » metodo per assurdo

  » A.P.T.U. » teorema 28

Teorema 30 » diagonali del rettangolo

Le diagonali di un rettangolo sono tutte congruenti.

Ipotesi » ABCD rettangolo

Tesi » AC = BD

Dimostrazione » traccio le diagonali AC e BD

  » considero i triangoli ABC e BCD essi hanno:

–  AB = DC » per ipotesi

–  BC in comune

–  Gli angoli ABC = BCD » per postulato 4

  » deduco che ABC = BCD » per teorema 1

   » in particolare AC = BD » CVD

Scheda » concetti » diagonale, rettangolo

  » idea centrale » tracciare le diagonali

  » A.P.T.U. » postulato 4

  » teorema 1

Teorema 31 » diagonali del rombo 1

Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.

Ipotesi » AB = BC = CD = DA

  » AB // BC // CD // DA

Tesi » angolo AOD = 90 °

Dimostrazione » traccio le diagonale del rombo e considero O punto dintersezione tra di esse

  » considero il triangolo ACD

  » deduco che AD = DC » il triangolo è isoscele » per ipotesi 1

  » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25

  » deduco che DO è la mediana relativa alla base AC

  » deduco che gli angoli AOD e COD = 90° » per teorema 4 » CVD

Scheda » concetti » rombo, angolo retto, perpendicolarità, diagonale

  » idea centrale » tracciare le diagonali del rombo

  » A.P.T.U. » teorema 4,25

Teorema 32 » diagonali del rombo 2

Le diagonali di un rombo sono bisettrici degli angoli.

Ipotesi » ABCD rombo

Tesi » angoli ADO = CDO

  DCO = BCO

  CBO = ABO

  BAO = DAO

Dimostrazione » traccio le diagonali del rombo AC e BD

  » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25

  » deduco che DO è mediana di AC e bisettrice dell’angolo ADC del triangolo CDA

  » per teorema 4

  » deduco che gli angoli ADO = CDO » CVD

  » dimostro analogamente anche per gli altri angoli

Scheda » concetti » rombo, diagonale, bisettrice, angolo

  » idea centrale » tracciare le diagonali

  » A.P.T.U. » teorema 4,25