Teoremi di geometria

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appunti di studio di Miriam Gaudio

ASSIOMI

Assioma 1 » cose uguali ad una stessa sono uguali.

Assioma 2 » uguali aggiunti ad uguali sono uguali.

Assioma 3 » uguali sottratti ad uguali sono uguali.

Assioma 4 » cose che coincidono tra loro sono uguali.

Assioma 5 » il tutto è maggiore di ogni sua parte.

POSTULATI

Postulato 1 » da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.

Postulato 2 » ogni retta terminata si può prolungare continuamente per diritto.

Postulato 3 » con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un centro.

Postulato 4 » tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Postulato 5 » se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli alterni da una stessa parte

                       Minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte

                       In cui sono i due angoli minori di due retti.

 

TEOREMI DI GEOMETRIA

 

Teorema 1 » primo criterio di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno un angolo e i lati che lo formano in comune sono congruenti.

Ipotesi » A = A

            » AB = AB

            » AC = AC

Tesi » ABC = ABC

Dimostrazione » immagino di sovrapporre langolo A ad A con un movimento rigido in modo che

                            Vertici e lati AB e AB coincidano.

                        » deduco che AB = AB » per ipotesi 1

                        » deduco che AC = AC e che C = C » per ipotesi 2,3

                        » deduco che i due triangoli hanno i vertici coincidenti

                        » possibile per assioma 4

Scheda » concetti » triangolo, angolo, lato

             » idea centrale » sovrapporre i triangoli mediante un movimento rigido

             » A.P.T.U. » assioma 4

                       

Teorema 2 » secondo criterio di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno due angoli e il loro lato comune congruente allora sono congruenti.

Ipotesi » angoli B = B

            » angoli C = C

            » BC = BC

Tesi » ABC = ABC

Dimostrazione » immagino di sovrapporre mediante movimento rigido i lati AB con AB

                        » è possibile per ipotesi 3

                        » osservo che le semirette AB e CA si sovrappongono rispettivamente

                           Ad AB e CA

                        » è possibile per l’ipotesi 1,2

                        » deduco che C = C quindi i triangoli sono completamente corrispondenti

 

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo

             » idea centrale » sovrapporre i due lati con il movimento rigido

             » A.P.T.U. » nessuno

Teorema 3 » angoli alla base del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti.

Ipotesi » AB = CA

Tesi » angoli ABC = BCA

Dimostrazione » traccio la bisettrice dellangolo A che incontra BC nel punto H

                        » considero i triangoli BHA e HCA essi hanno:

–          AH in comune

–          AB = CA per ipotesi

–          Angoli CAH = HAB per costruzione

                        » deduco che BHA =HCA » per teorema 1

                        » in particolare gli angoli ABC = BCA » CVD

Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo

             » idea centrale » tracciare la bisettrice dellangolo al vertice

             » A.P.T.U. » teorema 1

Teorema 4 » proprietà del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dellangolo al vertice è anche altezza e mediana

relativa alla base.

Ipotesi » AC = BC

            » angoli ACH = HBA

Tesi » CH AB

        » AH = HB

Dimostrazione » considero i triangoli AHC e HBC essi hanno:

–          CH in comune

–          AC = BC per ipotesi

–          Angoli ACH = HBA per ipotesi

                        » deduco che AHC = HBC » per teorema 1

                        » in particolare AH = HB » CVD 1

                        » deduco che gli angoli AHC e BHC sono retti perché adiacenti e congruenti » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo isoscele, bisettrice, altezza, mediana, angolo, base

             » idea centrale » considerare i due triangoli che si formano tracciando l’altezza

             » A.P.T.U. » teorema 1

Teorema 5 » triangolo con due angoli uguali (inverso del teorema 3)

Un triangolo avente due angoli uguali è isoscele ed ha uguali i due lati opposti ai due angoli uguali.

Ipotesi » angoli ABC = BCA

Tesi » AB = CA

Dimostrazione » traccio le bisettrici BP e QC degli angoli congruenti

                        » considero i triangoli BPC e CQB essi hanno:

–          BC in comune

–          Angoli BCP = CBQ per ipotesi

–          Angoli PBC = QCB perché metà di angoli uguali

                        » deduco che BPC = CQB » per teorema 2

                        » in particolare BP = CQ e angoli CPQ = BQC

                        » considero i triangoli BPA e CQA essi hanno:

–          BP = CQ per dimostrazione precedente

–          Angoli PBA = QCA perché supplementari di angoli uguali

–          Angolo A in comune

                        » deduco che BPA = CQA » per teorema 2

                        » in particolare AB = CA » CVD

Scheda » concetti » triangolo isoscele, angolo, lato

             » idea centrale » tracciare le bisettrici degli angoli congrienti

             » A.P.T.U. » teorema 2

Teorema 6 » terzo criterio di uguaglianza dei triangoli

Due triangoli aventi i lati rispettivamente congruenti sono congruenti.

Ipotesi » AB = AB

            » BC = BC

            » CA = CA

Tesi » ABC = ABC

Dimostrazione » sposto attraverso il ribaltamento il secondo triangolo nel semipiano delimitato

                           dalla retta AB non contenente C in modo che AB coincida con AB

–          triangolo acutangolo » CC interseca AB in D interno ad AB

–          triangolo ottusangolo » CC interseca AB in D esterno ad AB

–          triangolo rettangolo » CC interseca AB in B, uno degli angoli interni del triangolo

                        » congiungo i punti C con C

–          triangolo acutangolo » si hanno i triangoli CAC e CBC isosceli

      » angoli ACB = ACB perché somme di angoli uguali » per assioma 2

      » deduco che ABC = ABC » per teorema 1

–          triangolo ottusangolo » si hanno i triangoli CAC e CBC isosceli

      » angoli ACB = ACB perché differenza di angoli uguali » per assioma 3

      » deduco che ABC = ABC » per teorema 1

–          triangolo rettangolo » si hanno i triangoli ABC e ABC essi hanno

      » AB in comune

      » due angoli del lato in comune congruenti per costruzione

      » deduco che ABC = ABC » per teorema 2

Scheda » concetti »

             » idea centrale »

             » A.P.T.U. »

Teorema 7 » primo teorema dellangolo esterno

In un triangolo langolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente.

Ipotesi » ACD è un angolo esterno

Tesi » ACD > A

        » ACD > B

Dimostrazione » traccio la mediana BM e un segmento MN = BM poi congiungo N a D

                        » considero i triangoli AMB e ACN essi hanno:

–          BM = MN per costruzione

–          AM = MC per costruzione

–          Angoli AMB = NMC per il teorema degli angoli opposti al vertice

                        » deduco che AMB = ACN » per teorema 1

                        » in particolare gli angoli BAM = MCN

                        » deduco che ACD > A perché è una sua parte » CVD 1

                        » con procedimento analogo dimostro che ACD > B » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo, angolo interno / esterno / adiacente

             » idea centrale » tracciare la mediana, il segmento MN e congiungerlo con D

             » A.P.T.U.» teorema 1

 

Teorema 8 » lato maggiore

In un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa.

 

IMPLICAZIONE DIRETTA » se AC > BC allora esiste un punto D su AC tale che AD = AB

Ipotesi » AC > BC

Tesi » angoli ABC > BAD

Dimostrazione » deduco che ABC > ABD perché BD è un raggio dellangolo ABC

                        » ABD = ADB » per teorema 3 riferito al triangolo ABD

                        » ADB > BAD » per teorema 7 riferito al triangolo DBC

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza

             » A.P.T.U. » teorema 3,7

 

IMPLICAZIONE INVERSA » osservo che AC non può essere né congruente né minore di CB

Ipotesi » angoli ABC > BAD

Tesi » AC > BC

Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi

–          se fosse AC = BC » triangolo dovrebbe essere isoscele » angoli ABC = BAD » per teorema 5

–          se fosse AC < BC » ABC < BAD per implicazione diretta » negazione ipotesi

                        » deduco che AC > BC per ipotesi 1

Scheda » concetti » triangolo, lato, angolo, maggioranza

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 5

Teorema 9 » disuguaglianza dei triangoli

In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.

 

Teorema 10 » lato differente da altri due

In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due

 

Teorema 11 » unicità perpendicolare

Se due triangoli hanno una coppia di lati a due a due congruenti e gli angoli compresi disuguali, tra i lati opposti a questi vi è una disuguaglianza nello stesso verso.

Teorema 12 » rette perpendicolari ad una trasversale

Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.

Esercizio non sviluppato. Svolgilo tu!

Ipotesi »

            »

Tesi »

Dimostrazione »

                        »

                        »

                        »

Scheda » concetti »

             » idea centrale »

             » A.P.T.U. »

 

Teorema 13 » rette perpendicolari

Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni congruenti allora

–          le coppie di angoli alterni esterni sono congruenti

–          le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti

–          le coppie di angoli coniugati sono supplementari

Ipotesi » 4 = 6

Tesi » 1 = 7 ; 2 = 8

        » 1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8

        » 1 + 8 ; 2 + 7 ; 3 + 6 ; 4 + 5 = 180°

Dimostrazione » osservo che 2 è opposto al vertice rispetto a 4

                        » osservo che 8 è opposto al vertice rispetto a 6

                        » deduco che 2 = 4 e 8 = 6 » per teorema degli angoli opposti al vertice

                        » deduco che 2 = 8 » per ipotesi + assioma 4 » CVD 1

                        » osservo che 3 è adiacente a 4 e che 7 è adiacente a 6

                        » deduco che 3 = 7 » per assioma 3 » CVD 2

                        » considero 4 e 5:

–          4 = 6 per ipotesi

–          5 è supplementare di 6 in quanto adiacente

                        » deduco che 5 + 6 = 180° » 6 = 4 » 5 + 4 = 180° » per assioma 2 » CVD 3

Scheda » concetti » retta, trasversale, angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati, corrispondenti

             » idea centrale » considerare 2 e 8

             » A.P.T.U. » assioma 2,3,4

Teorema 14 » teorema diretto sulle parallele

Rette che individuano con una trasversale coppie di angoli alterni congruenti sono parallele.

Ipotesi » 1 = 2

Tesi » a // b

Dimostrazione » metodo per assurdo » nego la tesi » ????????????

                        » considero il triangolo ABC

                        » considero langolo esterno ∂ ad ABC esso gode di queste proprietà

–          ∂ = 2 » perché angoli corrispondenti » per teorema 13

–          ∂ > 2 » perché esterno a 2 » per teorema 7

                        » osservo che c’è una contraddizione » deduco che la tesi è vera

Scheda » concetti » retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 7,13

Teorema 15 » teorema inverso sulle parallele

Nel piano euclideo due rette parallele formano con una trasversale coppie di angoli alterni interni congruenti.

Ipotesi » a // b

Tesi » 1 = 2

Dimostrazione » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » 1 > 2 » ????

                        » deduco che c // b » per teorema 14

                        » deduco che a non è parallelo a b » per postulato 5

                        » contraddizione dell’ipotesi » deduco che la tesi è vera

Scheda » concetti » piano euclideo, retta, rette parallele, trasversale, angoli alterni interni

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 14

                                » postulato 5

Teorema 16 » trasversale di rette parallele

Se una retta t interseca una retta r (senza coincidere), allora interseca ogni retta parallela ad r.

Teorema 17 » perpendicolare a rette parallele

Se una retta r è perpendicolare ad una retta s, allora r è perpendicolare ad ogni retta parallela a s.

Teorema 18 » distanza di due rette parallele

I punti di una retta sono equidistanti da una sua parallela.

Teorema 19 » parallela ad una parallela

Due rette che sono parallele a una stessa retta sono parallele tra loro.

Teorema  20 » lati opposti di un parallelogrammo

I lati opposti di un parallelogrammo sono congruenti.

 

Teorema 21 » fascio di rette

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra.

Ipotesi »  a // b // c // d

            » r, t sono trasversali

            » AB = CD

Tesi » AB = CD

Dimostrazione » traccio la retta a parallela a t passante per A

                        » traccio la retta c parallela a t passante per C

                        » considero i parallelogrammi AABB e CCDD essi hanno:

–          AB = AB » per teorema 20

–          CD = CD » per teorema 20

                        » considero i triangoli ABB e CDD essi hanno :

–          angoli BAB = DCD » perché corrispondenti di a // c » per teorema 13

–          angoli ABB = CDD » perché corrispondenti di a // c » per teorema 13

–          AB = CD » per ipotesi

                        » deduco che i triangoli ABB = CDD » per teorema 2

                        » in particolare hanno AB = CD

                        » deduco che AB = CD » per la proprietà transitiva della congruenza

Scheda » concetti » rette parallele, trasversale, segmento

             » idea centrale » tracciare le rette a, c // t

             » A.P.T.U. » teoremi 2,13,20

Teorema 22 » secondo teorema dellangolo esterno

Dato un triangolo qualsiasi

–          ciascun angolo esterno è pari alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.

–          la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Ipotesi » ACD = angolo esterno

Tesi » angoli ACD = CAB + ABC

        » ABC + BCA + CAB = 180°

Dimostrazione » traccio la retta r // AC » per postulato 5

                        » considero AC trasversale di r e AC

                        » deduco che gli angoli CAB = ACE » per teorema 14

                        » considero AB trasversale di r e AC

                        » deduco che gli angoli ABC = ECD » per teorema 13 (sono corrispondenti)

                        » deduco che ACD = ACE + ECD

                        » deduco che ACD = CAB + ABC » per assioma 1 » CVD 1

                        » deduco che ACB + ACE + ECD = 180° » per costruzione

                        » deduco che ACB + CAB + ABC = 180° » per assioma 1 » CVD 2

Scheda » concetti » triangolo, angolo esterno / interno / adiacente / piatto

             » idea centrale » tracciare la retta r // AC

             » A.P.T.U. » postulato 5

                                » assioma 1

                                » teorema 13,14

 

 

Teorema 23 » congiungente dei punti medi di un triangolo

Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.

 

Teorema 24 » trapezi

In un trapezio isoscele

–          gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti

–          le diagonali sono congruenti

Teorema 25 » proprietà del parallelogrammo

In un parallelogrammo:

–          i lati opposti sono congruenti.

–          Gli angoli opposti sono congruenti.

–          Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà (=si bisecano).

Ipotesi » ABCD è un parallelogrammo

Tesi » AD = BC

           AB = DC

        » ABC = CDA

           DAB = BCD

        » AO = OC

           DO = OB

Dimostrazione » traccio le diagonali e deduco che AB = CD e che BC = DA

                           » per teorema 20 » CDV 1

                        » deduco che gli angoli ABC = ADC » perché corrispondenti dei triangoli

                           Congruenti ABC e ACD » CVD 2

                        » deduco che gli angoli DAB = BCD » per assioma 2 (somma di angoli = )

                        » considero i triangoli DAO e  BCO essi hanno:

–          AD = BC » per teorema 20

–          Angolo D = B » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)

–          Angolo A = C » per teorema 13 (alterni interni di // tagliate da una trasversale)

                        » deduco che DAO = BCO » per teorema 2

                        » in particolare che AO = OC e DO = OB » CDV 3

Scheda » concetti » parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonale

             » idea centrale » confrontare i triangoli che si formano tracciando le diagonali

             » A.P.T.U. » assioma 2

                                » teorema 2,13,20

 

Teorema 26 » proprietà inverse del parallelogrammo (inverso del teorema 25)

Un quadrilatero è un parallelogrammo se è verificata anche una sola delle seguenti condizioni:

–          i lati opposti sono congruenti

–          gli angoli opposti sono congruenti

–          le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.

 

CONDIZIONE 1

Ipotesi » BC = AD

            » CD = AB

Tesi » BC // AD

           CD // AB

Dimostrazione » traccio la diagonale BD

                        » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:

–          BD in comune

–          BC = AD » per ipotesi 1

–          CD = AD » per ipotesi 2

                        » deduco che BCD = ABD » per teorema 6

                        » in particolare gli angoli BDA = DBC

                        » deduco che BC // AD e CD // AB » per teorema 14

 

CONDIZIONE 2

Ipotesi » angoli A = C

            » angoli B = D

Tesi » AD // BC

           AB // CD

Dimostrazione » deduco che la somma degli angoli interni del quadrilatero è due angoli piatti

                            » per teorema 22 (il quadrilatero infatti si può dividere in due triangoli)

                        » deduco che A + B + C + D = 2A + 2B = 360°

                        » è possibile per ipotesi 1,2

                        » deduco che A + B = 180°

                        » deduco che AD // BC » per teorema 13

                        » analogamente anche AB // CD

 

CONDIZIONE 3

Ipotesi » AO = OC

            » BO = OD

Tesi » AD // BC

           AB // CD

Dimostrazione » considero i triangoli AOB e COD essi hanno:

–          AO = OC » per ipotesi

–          BO = OD » per ipotesi

–          Angoli COB = DOA » per teorema degli angoli opposti al vertice

                        » deduco che AOB = COD » per teorema 1

                        » in particolare AB = DC e AD = BC

                        » deduco che AD // BC e AB // CD » per condizione 1

Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati / angoli opposti, diagonali

             » idea centrale » condizione 1,2 » tracciare le diagonali

                                     » condizione 3 » considerare i triangoli AOD e  COB

             » A.P.T.U. » teorema 1,6,13,14

   

 

Teorema  27 » lati opposti del parallelogrammo (inverso del teorema 20)

un quadrilatero è un parallelogrammo se ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.

Ipotesi » AB = CD

            » AB // CD

Tesi » AD // CD

Dimostrazione » traccio la diagonale BD

                        » considero i triangoli BCD e ABD essi hanno:

–          AB = CD » per ipotesi

–          BD in comune

–          Angoli ABD = BDC  » per teorema 13 + ipotesi

                        » deduco che BCD = ABD » per teorema 1

                        » in particolare gli angoli ADB = DBC

                        » deduco che AD // CD » per teorema 14 » CDV

Scheda » concetti » quadrilatero, parallelogrammo, lati opposti, parallelismo

             » idea centrale » traccio la diagonale BD

             » A.P.T.U. » teorema 1,13,14

Teorema 28 » intersezione di mediane

Il punto dintersezione di due mediane di un triangolo le divide in due parti tali che quella uscente dal vertice è il doppio dell’altra

Ipotesi » AP = PC

            » AM = MB

Tesi » BK = 2KP

        » CK = 2 KM

Dimostrazione » traccio un segmento MP

Scheda » concetti »

             » idea centrale »

             » A.P.T.U. »

.

Teorema 29 » baricentro unico

Le mediane di un triangolo passano tutte per uno stesso punto.

Ipotesi » AM = MB

            » BN = NC

            » CP = PA

Tesi » MC  BP  AN = K

Dimostrazione » considero K il punto dintersezione delle mediane BP MC

                        » uso il metodo per assurdo » nego la tesi » la mediana AN non passa per K

                        » deduco che AN si interseca con BC in N ≠ N

                        » deduco che » KP = BP/3 » per teorema 28

                                              » NP = BP/3 » per teorema 28

                        » deduco che KP = NP

                        » contraddizione della tesi perché N≠ K

                        » deduco che AN passa per K » CVD

Scheda » concetti » mediana, triangolo, punto

             » idea centrale » metodo per assurdo

             » A.P.T.U. » teorema 28

 

Teorema 30 » diagonali del rettangolo

Le diagonali di un rettangolo sono tutte congruenti.

Ipotesi » ABCD rettangolo

Tesi » AC = BD

Dimostrazione » traccio le diagonali AC e BD

                        » considero i triangoli ABC e BCD essi hanno:

–          AB = DC » per ipotesi

–          BC in comune

–          Gli angoli ABC = BCD » per postulato 4

                        » deduco che ABC = BCD » per teorema 1

                        » in particolare AC = BD » CVD

Scheda » concetti » diagonale, rettangolo

             » idea centrale » tracciare le diagonali

             » A.P.T.U. » postulato 4

                                » teorema 1

Teorema 31 » diagonali del rombo 1

Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.

Ipotesi » AB = BC = CD = DA

            » AB // BC // CD // DA

Tesi » angolo AOD = 90 °

Dimostrazione » traccio le diagonale del rombo e considero O punto dintersezione tra di esse

                        » considero il triangolo ACD

                        » deduco che AD = DC » il triangolo è isoscele » per ipotesi 1

                        » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25

                        » deduco che DO è la mediana relativa alla base AC

                        » deduco che gli angoli AOD e COD = 90° » per teorema 4 » CVD

Scheda » concetti » rombo, angolo retto, perpendicolarità, diagonale

             » idea centrale » tracciare le diagonali del rombo

             » A.P.T.U. » teorema 4,25

Teorema 32 » diagonali del rombo 2

Le diagonali di un rombo sono bisettrici degli angoli.

Ipotesi » ABCD rombo

Tesi » angoli ADO = CDO

                      DCO = BCO

                      CBO = ABO

                      BAO = DAO

Dimostrazione » traccio le diagonali del rombo AC e BD

                        » deduco che O è il punto medio di AC » per teorema 25

                        » deduco che DO è mediana di AC e bisettrice dellangolo ADC del triangolo CDA

                           » per teorema 4

                        » deduco che gli angoli ADO = CDO » CVD

                        » dimostro analogamente anche per gli altri angoli

Scheda » concetti » rombo, diagonale, bisettrice, angolo

             » idea centrale » tracciare le diagonali

             » A.P.T.U. » teorema 4,25

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